YOI 1107：場の方程式が二階なら、閉じた皮の外から読める中身は、角度の型ごとに一つの数である

論文1107 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1107 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1107,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {When the Field Equation Is of Second Order, the Interior Can Be Read from Outside a Closed Skin Only as One Number per Angular Pattern},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1107},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月3日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 974379・974381 に記録されました（2026年11月03日 18:59（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

閉じた面で囲まれた中身を、面の外の場だけから読むとき、何がどれだけ読めるかを数える。中の源の半径から外の観測の半径へ、角度の型（次数 ℓ と番号 m で決まる球面調和関数の一つ一つ）ごとに運ばれる数の個数を、行列の特異値で数えた。同じ ℓ の型は同じ個数になる。三次元の逆二乗の核 1/r では、どの型でもちょうど 1 個である。18 の核を調べると、決まった個数で止まるのは 10 個で、湯川の核とヘルムホルツの核、二次元の対数、四次元と五次元の調和の核も 1 個、重調和の核は 2 個、三重調和の核は 3 個だった。距離の 0.5 乗・1.5 乗・2 乗・3 乗に反比例する冪の核とガウス型の核は、決まった個数で止まらない。止まる核はどれも、回転で形の変わらない局所の方程式の基本解で、外へ出る数の個数は、そのような方程式のうち一番低い階数の半分である。

形は選ばない。一辺 2 の立方体の中に、ラプラシアンの形の入れ替え Δφ（φ は立方体の内側にだけある滑らかな山）を足し、中の密度を 0.100 から 1.225 まで動かした。逆二乗の場では、山の外の五つの点（一つは立方体の中）で場の変化が、打ち消しの無いときの大きさの 10⁻¹⁵ 倍（計算の誤差の大きさ）にとどまった。同じ入れ替えは、1/r² の核では 10⁻³ から 10⁻² の桁で見える。中心から 0.6 の点の重さ 1 を単位球の皮へ掃き出すと、外の場は同じで、中心の場は皮が 1.000000、点が 1.666667 と違う。真ん中の点なら、皮の濃さはどこでも 1/(4π)＝0.079577471546 である。

4π が皮に残る、つまり点の源の流束が半径によらず 4π であるのは、場の質量が 0 のときだけである。湯川の場では流束は半径 0.5・1・2・4 で 11.432834・9.245819・5.102020・1.150806 と減るが、外へ出る数は型ごとに 1 個のまま残る。皮が一枚で済むのは方程式が二階であること（局所で二階）の側、4π が残るのは質量が 0 の側で、根が違う。情報が境界の大きさで決まる面積則は、さらに別の根である相互作用の局所性（届く距離が有限であること）から来る。三次元の格子のばねで、切り出した部分の熱のエントロピーは一辺の 2.9491 乗で、部分と残りが共有する相互情報量は 2.0239 乗で増えた。分離子は、場が局所の何階の方程式に従うか、である。

キーワード：源の逆問題、多重極展開、掃き出し、場の方程式の階数、面積則、ホログラフィー、分離子

Abstract

We count what, and how much, can be read about the contents enclosed by a surface from the field outside alone. For each angular pattern (each single spherical harmonic, fixed by its degree ℓ and its order m) we count, through the singular values of a matrix, how many numbers are carried from the radii of the sources inside to the radii of the observers outside; patterns with the same ℓ give the same count. For the inverse-square kernel 1/r in three dimensions the count is exactly 1 in every pattern. Of the 18 kernels examined, 10 stop at a fixed count: the Yukawa and Helmholtz kernels, the logarithm in two dimensions and the harmonic kernels in four and five dimensions also give 1, the biharmonic kernels give 2 and the triharmonic kernel gives 3. Power kernels falling as the 0.5th, 1.5th, 2nd and 3rd power of the distance, and the Gaussian kernel, do not stop at a fixed count. Every kernel that stops is the fundamental solution of a local equation whose form does not change under rotation, and the number of numbers that leave is half the lowest order of such an equation.

The shape does not matter. Inside a cube of edge 2 we added a rearrangement of the Laplacian form Δφ, with φ a smooth bump living only inside the cube, and moved the density inside from 0.100 to 1.225. For the inverse-square field the change of the field at five points outside the bump (one of them inside the cube) stayed at 10⁻¹⁵ of the size it would have without cancellation, the size of the computing error. The same rearrangement is visible, at the level of 10⁻³ to 10⁻², for the kernel 1/r². When a unit point mass at distance 0.6 from the centre is swept onto the unit sphere, the field outside is the same while the field at the centre differs: 1.000000 for the skin and 1.666667 for the point. For a point at the centre the skin density is 1/(4π) = 0.079577471546 everywhere.

The 4π remains on the skin, that is, the flux of a point source is 4π at every radius, only when the field is massless. For the Yukawa field the flux falls to 11.432834, 9.245819, 5.102020 and 1.150806 at radii 0.5, 1, 2 and 4, yet the count of numbers leaving stays 1 per pattern. That one skin suffices belongs to the equation being of second order (local and of second order); that the 4π remains belongs to the zero mass; the roots differ. The area law, by which information is fixed by the size of the boundary, comes from yet another root, the locality of the interactions (their finite range). In a three-dimensional lattice of springs, the thermal entropy of a cut-out part grew as the 2.9491th power of its edge and the mutual information shared by the part and the rest as the 2.0239th power. The separator is the order of the local equation that the field obeys.

Keywords: inverse source problem, multipole expansion, balayage, order of the field equation, area law, holography, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1107/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1107 はいつも最新の版を指します）。

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