YOI 1108：角度の型が中心への落下を防げるのは、中心の近くで引きつけるポテンシャルがちょうど 1/r² のときだけである

論文1108 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1108 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1108,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Angular Pattern Can Hold Off the Fall to the Center Only When the Attractive Potential near the Center Goes Exactly as 1/r²},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1108},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月4日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

電子の雲の回り方（角度の型 ℓ）は、電子が中心へ落ちるのを防いでいるのか。量子力学の半径の式を、x＝ln r と、u＝rψ を r の 1/2 乗で割った f で書き直すと、距離の p 乗に反比例して引きつけるポテンシャル（強さ g）は、中心の近くで g と e の (2−p)x 乗の積の項になり、運動の項の 1/r² との指数の比べ合いがそのまま見える（ħ²/2m＝1）。p が 2 より小さいと、中心の近くでポテンシャルが運動の項に比べて弱くなって落ちず、2 より大きいとポテンシャルが勝って、角度の型がいくつでも落ちる。角度の型が効くのはちょうど p＝2 のときだけで、そこでは落ちるかどうかが強さの勝負になり、三次元の境は g＝(ℓ+½)² である。物差しは中心の近くの r²V で、運動の項が二階なので境目の指数が 2 になる。中心に半径 r0 の小さな壁を置いて r0 を細かくすると、水素（p＝1）の ℓ＝0・1・2 の一番下のエネルギーは r0＝10⁻⁶ で −0.999997・−0.250000・−0.111111（リュードベリ）に収まった。p＝3 では、r0 を 10⁻⁶ から 10⁻⁸ へ 100 分の 1 にしたとき、エネルギーの大きさが r0 の −3.0183 乗の形で増え、この冪は一段ごとに p へ近づき、エネルギーは壁の所のポテンシャルの深さへ近づいた。p＝2 で境の 0.1 下では、壁で打ち切る取り方で r0 を 10⁻¹⁶ まで細かくしても束縛状態は 0 個で、0.1 上では r0 を細かくするにつれて増えた。

古典の力学で、同じ形のポテンシャルで中心へ落ちる境は角運動量の二乗 L² である。L² に固有値 ℓ(ℓ+1) を当てると、量子の境 (ℓ+½)² はどの ℓ でも 1/4 高く、そのあいだの強さでは、同じ角度の型の量子の状態は一つも落ちない。半古典の約束で L² に (ℓ+½)² を当てれば、二つの境は一致する。約束によらないのは、角運動量が 0 の s の状態でも三次元では強さ 1/4 までは落ちないことで、この値は d 次元では ((d−2)/2)² になり、二次元では 0 になる。境の上では束縛状態が等比に並び、隣どうしのエネルギーの比は e の 2π/ν 乗になる（ν は g と (ℓ+½)² の差の平方根）。ν に論文1060 の値 1.006237825103 を入れると、式のとおり 1060 と同じ比になり、溝を解いた比は式の 515.035001 と相対差 6.59×10⁻⁶ で合った。相対論では、核を点とみなすと、クーロンのポテンシャルの二乗が中心の近くで強さ (Zα)² の 1/r² のポテンシャルとして入り、中心の近くの標準の指数が実である範囲の上端は、クライン＝ゴルドンで Zα＝ℓ+½（s で Z＝68.518）、ディラックで Zα＝j+½（j＝½ で Z＝137.036）になる。分離子は、ポテンシャルの指数が 2 より小さいか、ちょうど 2 か、大きいか、である。

キーワード：中心への落下、逆二乗のポテンシャル、角度の型、遠心力の壁、離散的なスケール不変性、クライン＝ゴルドン方程式、ディラック方程式、分離子

Abstract

Does the way an electron cloud turns (its angular pattern ℓ) keep the electron from falling to the center? Rewrite the radial equation of quantum mechanics with x = ln r and with f, the function u = rψ divided by the square root of r. A potential that pulls inward in inverse proportion to the p-th power of the distance (strength g) then becomes, near the center, the product of g and e to the power (2−p)x, and the contest of exponents with the 1/r² of the kinetic term is in plain view (ħ²/2m = 1). If p is below 2 the potential grows weak near the center compared with the kinetic term and nothing falls; if p is above 2 the potential wins and the particle falls whatever its angular pattern. The angular pattern matters only at exactly p = 2, where falling becomes a contest of strength and the bound in three dimensions is g = (ℓ+½)². The yardstick is r²V near the center, and the boundary exponent is 2 because the kinetic term is of second order. With a small wall of radius r0 at the center made ever finer, the lowest energies of hydrogen (p = 1) for ℓ = 0, 1, 2 settled, at r0 = 10⁻⁶, at −0.999997, −0.250000 and −0.111111 (Rydberg). For p = 3, dividing r0 by 100 from 10⁻⁶ to 10⁻⁸ made the size of the lowest energy grow as r0 to the power −3.0183; step by step this power approached p, and the energy approached the depth of the potential at the wall. At p = 2, 0.1 below the bound there are no bound states, with the cutoff taken as this wall, even with r0 as fine as 10⁻¹⁶, and 0.1 above it their number grows as r0 is refined.

In classical mechanics the bound for falling under the same potential is the square of the angular momentum, L². Assigning to L² the eigenvalue ℓ(ℓ+1), the quantum bound (ℓ+½)² lies a quarter higher for every ℓ, and at strengths in between not a single quantum state of the same angular pattern falls. Under the semiclassical convention that assigns (ℓ+½)² to L², the two bounds coincide. What does not depend on the convention is that in three dimensions even an s state, with zero angular momentum, does not fall up to strength 1/4; this value becomes ((d−2)/2)² in d dimensions and 0 in two. Above the bound the bound states line up in a geometric sequence, with the energy ratio of neighbours e to the power 2π/ν (ν is the square root of the excess of g over (ℓ+½)²). Putting the value 1.006237825103 of Paper 1060 for ν gives, by the formula, the same ratio as in 1060, and the ratio obtained by solving the trench matched the formula’s 515.035001 to a relative difference of 6.59×10⁻⁶. In relativity, treating the nucleus as a point, the square of the Coulomb potential enters near the center as a 1/r² potential of strength (Zα)², and the upper end of the range in which the standard exponent near the center is real is Zα = ℓ+½ for the Klein–Gordon equation (Z = 68.518 for s) and Zα = j+½ for the Dirac equation (Z = 137.036 for j = ½). The separator is whether the exponent of the potential is below 2, exactly 2, or above 2.

Keywords: fall to the center, inverse-square potential, angular pattern, centrifugal barrier, discrete scale invariance, Klein-Gordon equation, Dirac equation, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1108/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1108 はいつも最新の版を指します）。

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