YOI 1112：点の 4π は並びの間隔ほどの距離で線や面の法則に替わり、線の 2π と面の 2π は単位の流儀で入れ替わる

論文1112 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1112 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1112,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Point's 4π Gives Way to a Line's or a Sheet's Law at About the Spacing, and the Two 2π Trade Places with the Units},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1112},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月5日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

論文02 は、密度 1/r² の球では体積の増え方 r² と密度が打ち消し合い、半径 1 の中の質量が全立体角の 4π になることを示した。論文258 は、源を点から線や面に替えると、この 4π が消えて 2π が出ることを並べた。本稿は三次元の空間に留まったまま、質量を間隔を置いて一列や一面に並べる。点の法則が線や面の法則に替わるのはどの距離で、どれだけの速さかを数え、線の 2π と面の 2π が同じものかを確かめる。並びに垂直な向きの数 k（点 3、線 2、面 1）ごとに、論文02 の打ち消し合いのあとに残る値は 4π・2π・2 になる。一辺 2 の立方体の六つの面で点から出る場の外向きの成分を足すと 12.566370614359、一辺 2 の正方形の四つの辺で線から出る場の外向きの成分を足すと 6.283185307180 になり、球や円の座標を使わずに 4π と 2π が出る。遠くの場の係数は 4π をそれで割った 1・2・2π で、距離の冪は 2・1・0 である。

間隔 1 で質量 1 を一列に並べると、質量の真横では、近くの 1/s² と遠くの 2/s が s＝1/2 で交わる（どちらも 4、本当の場は 4.904664979）。遠くの法則からのずれは、遠くでは間隔のおよそ 0.159155 倍、つまり 1/(2π) 進むごとに e 分の 1 に縮む（s＝1 では距離 1 あたり e の 5.851072 乗分の 1 で、2π より少し遅い）。二つの質量の間の真横では、両隣の引きがほぼ線に沿って上と下を向いて打ち消し合い、場は 14ζ(3) に s を掛けた大きさで 0 に近づく。正方の格子に並べると、近くの 1/z² と遠くの 2π は z＝0.398942 で交わり、近くで点の法則からずれ始める大きさは、格子の和 4ζ(3/2)β(3/2)＝9.033621683 で決まる。場は、質量の真上では上から、四つの間の上では下から、同じ速さで 2π に近づく。101 個の列では、局所の冪（その距離のあたりで、場が距離の何乗で弱まっているか）が 2 から 1 の近く（最小 1.001938）へ移り、また 2 に戻る。101×101 の板では、2 から 0 の近く（最小 0.030649）へ移り、また 2 に戻る。

線の 2π は線を囲む円の円周で、面の 2π は 4π を面の両側の 2 で割った数である。二つが同じ数になるのは、三次元の半径 1 の球で、表面積 4π が赤道の円周 2π と直径 2 の積だからである。源の強さを出ていく流束で数える有理化した単位（電気の SI）では、点 q/(4πε0 r²)、線 λ/(2πε0 s)、面 σ/(2ε0) と、囲む図形の大きさ 4π・2π・2 が分母に残る。点の式に 4π を入れない有理化しない単位（電気のガウスの単位と、G で書く重力）では、点 q/r²、線 2λ/s、面 2πσ と、4π をその大きさで割った 1・2・2π が係数に残る。単位を替えると、線と面の場の式のあいだで 2π と 2 が入れ替わり、二つの 2π が同じ流儀の場の式に並ぶことはない。本稿に出た 2π の住所は少なくとも四つで、ほかの二つは、遠くの法則へ近づく速さ 2π/d（d は、一列では間隔、面では質量が並ぶ平行な列どうしの一番広い間隔）に入る周期の 2π と、論文02 の m(1)＝4π/(3−1) である。この二つは単位の流儀では動かない。間隔を 1 と置くと、面の場 2πσ と近づく速さは同じ 6.283185 に見えるが、間隔を 2 にすると 1.570796 と 3.141593 に分かれる。重力の測量で使うブーゲーの板 2πGρh は面の 2π で、密度 1 g/cm³、厚さ 1 m で 0.041936 mGal になる。分離子は、2π が並びを囲む図形の大きさそのものか、4π をその大きさで割った数か、である。

キーワード：4π、立体角、ガウスの法則、逆二乗則、格子の和、単位の選択、ブーゲーの板、分離子

Abstract

Paper 02 showed that in a ball of density 1/r² the growth of volume r² cancels the density, so that the mass within radius 1 equals the full solid angle 4π. Paper 258 set out how this 4π disappears and 2π appears when the source is changed from a point to a line or a sheet. Staying in three-dimensional space, this paper lays unit masses at a spacing in a row or a sheet. It counts at what distance and how fast the point law gives way to the law of a line or a sheet, and checks whether the 2π of a line and the 2π of a sheet are the same thing. For each number k of directions perpendicular to the arrangement (3 for a point, 2 for a line, 1 for a sheet), the value left after the cancellation of Paper 02 is 4π, 2π and 2. Summing the outward component of the field of a point over the six faces of a cube of side 2 gives 12.566370614359, and summing the outward component of the field of a line over the four edges of a square of side 2 gives 6.283185307180, so 4π and 2π appear without spherical or polar coordinates. The coefficients of the far field are 4π divided by these, 1, 2 and 2π, and the exponents of distance are 2, 1 and 0.

With unit masses in a row at unit spacing, level with a mass the near law 1/s² and the far law 2/s cross at s = 1/2 (both equal 4; the true field is 4.904664979). Far away the deviation from the far law shrinks by roughly a factor of e every 0.159155 of the spacing, that is every 1/(2π) (at s = 1 it falls by e to the power 5.851072 per unit distance, a little slower than 2π). Midway between two masses the pulls of the two neighbours point almost along the line, up and down, and cancel, so the field goes to 0 as 14ζ(3) times s. On a square lattice the near law 1/z² and the far law 2π cross at z = 0.398942, and the size of the first deviation from the point law is set by the lattice sum 4ζ(3/2)β(3/2) = 9.033621683. The field approaches 2π from above over a mass and from below over the gap between four masses, at the same rate. For a row of 101 masses the local exponent (the power of distance with which the field weakens around that distance) moves from 2 to near 1 (minimum 1.001938) and back to 2; for a 101×101 sheet it moves from 2 to near 0 (minimum 0.030649) and back to 2.

The 2π of a line is the circumference of the circle around the line, and the 2π of a sheet is 4π divided by the 2 of the sheet’s two sides. The two are the same number because, for a sphere of radius 1 in three dimensions, the area 4π is the circumference 2π of the equator times the diameter 2. In rationalized units, which count the strength of a source by the flux leaving it (SI for electricity), the fields of a point, a line and a sheet are q/(4πε0 r²), λ/(2πε0 s) and σ/(2ε0), and the sizes of the enclosing figures, 4π, 2π and 2, remain in the denominators. In unrationalized units, which put no 4π in the point law (Gaussian units for electricity, and gravity written with G), they are q/r², 2λ/s and 2πσ, and 4π divided by those sizes, 1, 2 and 2π, remains as the coefficients. Changing the units makes 2π and 2 trade places between the field formulas of the line and the sheet, and the two 2π never stand side by side in the field formulas of the same convention. The 2π of this paper has at least four addresses; the other two are the 2π of the period in the rate of approach to the far law, 2π/d (d the spacing for a row, and for a sheet the widest spacing between parallel rows of masses), and m(1) = 4π/(3−1) of Paper 02, and neither moves with the units. With the spacing set to 1 the sheet field 2πσ and the rate of approach look like the same 6.283185, but with spacing 2 they split into 1.570796 and 3.141593. The Bouguer slab 2πGρh used in gravity surveying is the 2π of a sheet, and gives 0.041936 mGal for density 1 g/cm³ and thickness 1 m. The separator is whether the 2π is the size of the figure enclosing the arrangement itself or 4π divided by that size.

Keywords: 4π, solid angle, Gauss law, inverse-square law, lattice sum, choice of unit, Bouguer slab, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1112/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1112 はいつも最新の版を指します）。

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