YOI 1116：一様な楕円体は外から見ると平らな焦点の円盤と同じで、球が点と同じなのはその円盤が一点に縮んだ場合である

論文1116 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1116 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

@misc{yamagishi2026yoi1116,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Uniform Ellipsoid Pulls from Outside Like a Flat Focal Disc, and a Sphere Pulling Like a Point Is the Case in Which That Disc Shrinks to One Point},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1116},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年11月7日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 974823 に記録されました（2026年11月07日 00:33（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文1107 は、重力のように場の方程式が二階なら、閉じた皮の外から読める中身は角度の型ごとに一つの数で、それは箱の形を選ばないことを示した。論文1114 は、球では、点・皮・1/r² の球が外から同じ場を出すことを数えた。本稿は、球でない形で同じことを問う。外から見た重力を変えずに、共焦点の族の中で、中身をどれだけ小さな「芯」に縮められるか。一様な楕円体では、行き止まりは平らな楕円の円盤になる。重力の定数と物の重さを 1 にそろえ、外の場と皮の中の力は、皮や中身をじかに足して求め、中の点の力は、点から境界までの距離を全方向に足して求めた。球殻定理や楕円体の公式は、外の場と皮の中の力の答えとしては使っていない（4π の配り方と論文1097 の値は、楕円体の中の位置のエネルギーの式から出した）。

半軸 3・2・1 の一様な楕円体と、半軸の二乗から同じ数 0.5 を引いた共焦点の楕円体（半軸 2.9155・1.8708・0.7071）は、外の三点で場の相対の差が 6.81×10⁻¹⁵ から 4.51×10⁻¹⁴ で、見分けがつかない（マクローリン 1742 とアイヴォリー 1809 の定理）。共焦点でない同じ重さの楕円体とは、7.24×10⁻³ から 1.91×10⁻² 違う。論文1107 の言葉で言えば、鏡の対称で消えずに残る角度の型 ℓ＝2 の二つの数と ℓ＝4 の三つの数は、半軸の二乗の差だけで決まり、共焦点にずらしても変わらない（記号で確かめたのは ℓ＝4 まで）。

共焦点のまま一番つぶすと、楕円体は半軸 √8 と √3 の平らな円盤（濃さは √(1−q²) に比例。q は円盤の半軸で測った中心からの距離で、ふちで 1）になり、外の場の相対の差は 10⁻¹⁴ の桁である。細長い回転楕円体（1・1・2）は焦点のあいだの長さ 2√3 の線分に、平たい回転楕円体（2・2・1）は半径 √3 の丸い円盤になる。球の族は半径が縮むだけなので、芯は中心の点で、球殻定理はこの場合に当たる。芯の次元は、球で 0、細長い回転楕円体で 1、楕円体で 2 である。外から同じでも中では違い、楕円体の中の点 (0, 0, 0.5) では、立体と円盤の力の差は立体の力の 1.911392 倍になる。

楕円の皮の中の力は、皮の厚みの塗り方で決まる。厚みを中心から接平面までの距離 p に比例させた皮（ホメオイド）では、中の三点で力が 10⁻¹⁵ の桁（計算の誤差の大きさで、格子の細かさで動く）で、一様な厚みの皮では 10⁻² の桁である。p は皮の上で 1 から 3 まで動く。球では p がどこでも同じなので、二つの塗り方は同じ皮になる。中の力が 0 になる理由は、一様な楕円体の中の位置のエネルギーが座標の二次式で、相似な二つの楕円体の差が場所によらない定数になることにある（記号で確かめた）。この二次式の二階の微分は、ポアソン方程式の 4π を、形に応じて三つの向きへ配る（反電場係数。磁気では反磁場係数。球なら 4π/3 ずつ）。論文1097 の双極子の格子の和の 0・4π/3・−8π/3 は、論文1098 が示したとおり、4π/3 から双極子の向きの取り分を引いた、球・細い針・薄い板での値である。力が距離の 3 乗で弱まるときも、場の方程式は二階でも質量のある湯川の場のときも、共焦点の楕円体は外から違い、ホメオイドの中の力も 0 にならない（湯川の場では球の皮の中でも 0 にならない）。共焦点の芯とホメオイドの平らな中は、質量の無いラプラス方程式に乗っている。ただし一様な球は、湯川の場でも外からは点と同じ形の場を出し、重さだけが 3/e＝1.103638 倍になる（半径と遮蔽の長さが等しいとき）。球が点に縮むことには、対称性というもう一つの支えがある。

地球を仮に一様な楕円体とすると、芯は半径 521.854 km の丸い円盤で、赤道半径の 0.0818192 倍（離心率そのもの）である。分離子は、皮の厚みの塗り方と、二つの楕円体が共焦点かどうか、である。

キーワード：楕円体、共焦点、ホメオイド、球殻定理、焦点の円盤、反電場係数、分離子

Abstract

Paper 1107 showed that when the field equation is of second order, as for gravity, what can be read from outside a closed skin is one number per angular pattern, whatever the shape of the box. Paper 1114 showed numerically that, in the spherical case, a point, a skin and a 1/r² ball give the same field outside. This paper asks the same question for a shape that is not a sphere: without changing gravity seen from outside, how small a "core" can the inside be shrunk to within its confocal family? For a uniform ellipsoid the end point is a flat elliptic disc. The gravitational constant and the masses are set to 1; the field outside and the force inside a skin were found by adding up the skin or the body directly, and the force at a point inside a body by adding up, over all directions, the distance from the point to the boundary. Neither the shell theorem nor the formulas for ellipsoids were used for the answers about the field outside and the force inside a skin (the sharing of 4π and the values of Paper 1097 were derived from the formula for the potential inside an ellipsoid).

A uniform ellipsoid with semi-axes 3, 2, 1 and the confocal ellipsoid obtained by subtracting the same number 0.5 from the squared semi-axes (semi-axes 2.9155, 1.8708, 0.7071) differ in their fields at three outer points by a relative amount of 6.81×10⁻¹⁵ to 4.51×10⁻¹⁴, so they cannot be told apart (the theorem of Maclaurin 1742 and Ivory 1809). A non-confocal ellipsoid of the same mass differs by 7.24×10⁻³ to 1.91×10⁻². In the language of Paper 1107, the numbers that survive the mirror symmetries, two for angular pattern ℓ = 2 and three for ℓ = 4, are fixed by the differences of the squared semi-axes alone and do not change under the confocal shift (checked symbolically up to ℓ = 4).

Squeezed as far as possible while staying confocal, the ellipsoid becomes a flat disc with semi-axes √8 and √3 (density proportional to √(1−q²), where q is the distance from the centre measured with the semi-axes of the disc, equal to 1 at its rim), and the relative difference in the field outside is of order 10⁻¹⁴. The prolate spheroid (1, 1, 2) becomes the segment of length 2√3 between its foci, and the oblate spheroid (2, 2, 1) a round disc of radius √3. The confocal family of a sphere only shrinks its radius, so the core is the point at the centre, and the shell theorem is this case. The dimension of the core is 0 for a sphere, 1 for a prolate spheroid and 2 for an ellipsoid. The same outside does not mean the same inside: at the inner point (0, 0, 0.5) of the ellipsoid, the force of the disc differs from that of the solid by 1.911392 times the solid’s force.

The force inside an ellipsoidal skin depends on how its thickness is distributed. For the skin whose thickness is proportional to the distance p from the centre to the tangent plane (the homoeoid), the force at three inner points is of order 10⁻¹⁵ (the size of the numerical error, which moves with the grid); for a skin of uniform thickness it is of order 10⁻². On the skin p ranges from 1 to 3. On a sphere p is the same everywhere, so the two distributions give the same skin. The force vanishes because the gravitational potential inside a uniform ellipsoid is a quadratic in the coordinates, and the difference between two similar ellipsoids is a constant independent of position (checked symbolically). The second derivatives of this quadratic share the 4π of Poisson’s equation among three directions according to the shape (the depolarization factors, called demagnetizing factors in magnetism; 4π/3 each for a sphere). As Paper 1098 showed, the values 0, 4π/3 and −8π/3 of the dipole lattice sum of Paper 1097 are 4π/3 minus the share along the dipole, for a sphere, a thin needle and a thin plate. For a force falling off as the inverse cube, and for a massive Yukawa field whose equation is still of second order, confocal ellipsoids differ from outside and the force inside the homoeoid does not vanish (for the Yukawa field it does not vanish even inside a spherical skin). The confocal core and the flat inside of the homoeoid rest on the massless Laplace equation. A uniform ball, however, still gives from outside a field of the same form as a point even for the Yukawa field, with only its mass changed by a factor 3/e = 1.103638 (when the radius equals the screening length). The shrinking of a sphere to a point has one more support, symmetry.

If the Earth were a uniform ellipsoid, its core would be a round disc of radius 521.854 km, 0.0818192 times the equatorial radius (this factor is the eccentricity itself). The separator is how the thickness of the skin is distributed, and whether two ellipsoids are confocal.

Keywords: ellipsoid, confocal, homoeoid, shell theorem, focal disc, depolarization factor, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年11月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1116/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1116 はいつも最新の版を指します）。

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