Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文252 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/252 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22161148）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文252】「情報量」は四つあり、要るものが違う

@misc{yamagishi2026yoi252,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Information Is Four Quantities, and They Need Different Things},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/252},
  doi = {10.5281/zenodo.22161148},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「情報量」という一語が、少なくとも四つの別のものを指している。本稿はそれを点呼し、それぞれが「何を与えないと定義できないか」を書く。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、シャノンには分布が要る。同じ $200000$ 個の記号に三つの分布を当てると、$H$ は $\mathbf{1.253874709}$・$\mathbf{1.254310170}$・$\mathbf{2.000000000}$ ビットになった。記号は一つも変えていない（第2節）。

第二に、フォン・ノイマンには状態が要る。純粋状態 $|+\rangle$ と完全混合は、$z$ で測ると同じ $0.5$／$0.5$ を返すのに、$S$ は $\mathbf{0.000000000}$ と $\mathbf{1.000000000}$ ビットである。出てくる目からは決まらない（第3節）。

第三に、フィッシャーには族が要る。分布ではない。同じ標準正規分布を $N(\theta,1)$ に埋めると $\mathbf{1}$、$N(0,\sigma^2)$ に埋めると $\mathbf{2}$ である（数値で $1.000050$ と $1.998993$）（第4節）。

第四に、コルモゴロフには何も要らない。そして計算できない。円周率の $40000$ 桁は $\mathbf{257}$ バイトの自作プログラムで全部出るのに、最良の圧縮器は $17271$ バイト。その $\mathbf{67}$ 倍である（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。同じ一つの対象に、二つの「情報量」が正反対の判定を下す。円周率の桁は、シャノンでは $\mathbf{3.321837}$ ビット／桁（最大 $\log_2 10 = 3.321928$ のほぼ上限）、コルモゴロフでは $\mathbf{0.051400}$ ビット／桁以下。$65$ 倍の開きで、片方はほぼ最大、片方はほぼ最小である（第6節）。

第六に、並びが一直線である。分布を、状態を、族を。何かを与えねばならない三つは計算でき、何も与えなくてよい一つだけが計算できない（第7節）。

Abstract

One word, information, names at least four different quantities.This paper calls the roll and writes down what each one cannot be defined without.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, Shannon needs a distribution.Fitting three distributions to the same $200000$ symbols gives $H$ of $\mathbf{1.253874709}$, $\mathbf{1.254310170}$ and $\mathbf{2.000000000}$ bits: not one symbol was changed (Section 2).

Second, von Neumann needs a state.The pure state $|+\rangle$ and the completely mixed state both return $0.5$ and $0.5$ when measured along $z$, yet $S$ is $\mathbf{0.000000000}$ and $\mathbf{1.000000000}$ bits: the outcomes do not fix it (Section 3).

Third, Fisher needs a family, not a distribution.Embedding the same standard normal in $N(\theta,1)$ gives $\mathbf{1}$ and in $N(0,\sigma^2)$ gives $\mathbf{2}$ (numerically $1.000050$ and $1.998993$) (Section 4).

Fourth, Kolmogorov needs nothing, and cannot be computed.The $40000$ decimal digits of $\pi$ come out of a self-contained program of $\mathbf{257}$ bytes, while the best compressor reaches $17271$ bytes, $\mathbf{67}$ times as long (Section 5).

Fifth, this is the core.Two quantities called information return opposite verdicts on one and the same object.For the digits of $\pi$, Shannon gives $\mathbf{3.321837}$ bits per digit, all but the maximum $\log_2 10 = 3.321928$, while Kolmogorov gives at most $\mathbf{0.051400}$, a factor of $65$, one near the ceiling and one near the floor (Section 6).

Sixth, the alignment is exact.A distribution, a state, a family: the three that demand something can be computed, and the one that demands nothing cannot (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/252/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/252 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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