YOI 579：正答率は問題の性質ではなく、問題と集団の関係である

論文579 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/579 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014333）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文579】正答率は問題の性質ではなく、問題と集団の関係である

@misc{yamagishi2026yoi579,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Correct-Response Rate Is Not a Property of the Question but a Relation Between Question and Group},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/579},
  doi = {10.5281/zenodo.23014333},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

試験の問題の難しさは、「正答率 $30$ パーセントの難問」のように正答率で言われることが多い。本稿が示すのは、正答率は問題だけの性質ではなく受ける集団との関係であり、識別力の違う二つの問題では、どちらが難しいかの順さえ集団で入れ替わることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、同じ問題の正答率が、集団で $\mathbf{3.153803}$ 倍違う。識別力 $1.7$・困難度 $0$ の一問は、集団の平均能力が $-1$ で $\mathbf{0.240743}$、$0$ で $\mathbf{0.500000}$、$+1$ で $\mathbf{0.759257}$ である（第2節）。

第二に、式の組み方を二通りで確かめた。平均が困難度に等しいと正答率はちょうど $0.5$、$\pm1$ の和はちょうど $1$ で、独立な近似式では $\mathbf{0.238035}$（差 $0.002708$）である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。識別力の高い問題 A と低い問題 B では、能力の低い集団では B が易しく、高い集団では A が易しい。入れ替わる集団の平均は $\mathbf{0.327653}$ で、そこで二つの正答率は $\mathbf{0.538597}$ に揃う（第3節）。

第四に、低い集団では差が大きい。平均 $-1.5$ の集団で A は $\mathbf{0.101094}$、B は $\mathbf{0.329708}$ で、高い集団（$+1.5$）では A が $\mathbf{0.836491}$、B が $\mathbf{0.670292}$ になる（第3節）。

第五に、集団に依らないのは困難度であって、正答率ではない。識別力が等しい問題どうしなら、順はどの集団でも入れ替わらない（第4節）。

第六に、分離子は、二問の識別力が等しいかどうかである。違えば、二つの曲線はどこかで交わり、集団の置き場所で順が決まる（第5節）。

キーワード：項目反応理論、正答率、困難度、ロジスティック模型、テスト理論

Abstract

The difficulty of an exam question is often stated by its correct-response rate, as in “a hard question answered by $30$ per cent”.What this paper shows is that a correct-response rate is not a property of the question alone but a relation to the group taking it, and that for two questions of different discrimination even the order of difficulty reverses from group to group.No new theorem or law is claimed.

First, the same question’s correct-response rate differs $\mathbf{3.153803}$ times between groups、a question of discrimination $1.7$ and difficulty $0$ is answered by $\mathbf{0.240743}$ of a group of mean ability $-1$, $\mathbf{0.500000}$ of mean $0$ and $\mathbf{0.759257}$ of mean $+1$ (Section 2).

Second, the construction was checked two ways、when the mean equals the difficulty the rate is exactly $0.5$, the rates at $\pm1$ sum exactly to $1$, and an independent approximation gives $\mathbf{0.238035}$ (a difference of $0.002708$) (Section 2).

Third, and this is the core.For a highly discriminating question A and a weakly discriminating question B, B is easier for groups of low ability and A for groups of high ability、the order reverses at a group mean of $\mathbf{0.327653}$, where both rates meet at $\mathbf{0.538597}$ (Section 3).

Fourth, the gap is large in low groups、in a group of mean $-1.5$, A gives $\mathbf{0.101094}$ and B $\mathbf{0.329708}$; in a group of mean $+1.5$, A gives $\mathbf{0.836491}$ and B $\mathbf{0.670292}$ (Section 3).

Fifth, what does not depend on the group is the difficulty, not the correct-response rate、questions of equal discrimination keep their order in every group (Section 4).

Sixth, the separator is whether the two questions discriminate equally、if not, their curves cross somewhere, and where the group sits decides the order (Section 5).

Keywords: item response theory, proportion correct, item difficulty, logistic model, test theory

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/579/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/579 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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