YOI 619：壊れた場所が分かれば、符号は二倍直せる

論文619 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/619 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014510）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi619,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Knowing Where the Damage Is Lets a Code Repair Twice as Much},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/619},
  doi = {10.5281/zenodo.23014510},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

データに冗長な部分を足しておくと、途中で一部が壊れても元に戻せる（誤り訂正符号）。壊れた場所が分かっている場合（消失）と、分からない場合（誤り）で、何個まで直せるかを総当たりで数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、ハミング符号は、誤りなら $1$ 個、消失なら $2$ 個まで直せる。長さ $7$・符号語 $16$ 個・最小距離 $3$ の符号で、全部の符号語と全部の壊れ方を試すと、誤り $1$ 個は $112$ 通りすべて直り、誤り $2$ 個は $336$ 通りのうち一つも正しく直らなかった。消失なら $2$ 個でも $336$ 通りすべて一つに決まった（第2節）。

第二に、消失 $3$ 個でも、五つに四つは決まる。消失 $3$ 個では $560$ 通りのうち $448$ 通り（$\mathbf{0.800000}$）が一つに決まり、決まらないのは、壊れた三つの場所が重さ $3$ の符号語の $1$ の場所とちょうど重なる $7$ 通りだけだった（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。誤り一つは、消失二つぶんの手間を食う。$13$ を法とする数で作った長さ $12$・情報 $6$ 個・最小距離 $7$ のリード・ソロモン符号で、誤りと消失を混ぜて乱数で $30$ 回ずつ試すと、誤りの数の $2$ 倍と消失の数の和が $6$ 以下の組（誤り $3$／誤り $2$・消失 $2$／誤り $1$・消失 $4$／消失 $6$）はすべて直った（第3節）。

第四に、その和が $6$ を超えると直らなくなる。誤り $4$ 個（和 $8$）では $30$ 回中 $2$ 回、誤り $3$ 個・消失 $2$ 個（和 $8$）では $0$ 回しか直らなかった。消失 $7$ 個では残る $5$ 個から情報 $6$ 個は決めようがない（第3節）。

第五に、分離子は、壊れた場所が分かっているかどうかである。場所が分かれば、残りの部分から元を決めるだけでよい。場所が分からなければ、どこが壊れたかを見つける分の冗長さも要り、直せる数が半分になる（第4節）。

キーワード：誤り訂正符号、消失訂正、ハミング符号、リード・ソロモン符号、最小距離

Abstract

Adding redundant parts to data lets it be restored even if part of it is damaged on the way (error-correcting codes).How many damaged symbols can be repaired is counted exhaustively, for damage whose position is known (erasures) and unknown (errors).No new theorem or law is claimed.

First, the Hamming code repairs $1$ error or $2$ erasures、trying every codeword and every kind of damage in the code of length $7$ with $16$ codewords and minimum distance $3$, $1$ error was corrected in all $112$ cases, and $2$ errors were corrected correctly in none of $336$. With erasures, even $2$ were fixed uniquely in all $336$ (Section 2).

Second, even with $3$ erasures, four in five are fixed、with $3$ erasures, $448$ of $560$ cases ($\mathbf{0.800000}$) were fixed uniquely; the only failures were the $7$ cases in which the three erased positions coincide exactly with the $1$s of a weight-$3$ codeword (Section 2).

Third, and this is the core.One error costs as much as two erasures、in a Reed--Solomon code built modulo $13$, of length $12$ with $6$ information symbols and minimum distance $7$, mixing errors and erasures in $30$ random trials each, every combination with twice the errors plus the erasures at most $6$ ($3$ errors; $2$ errors and $2$ erasures; $1$ error and $4$ erasures; $6$ erasures) was always repaired (Section 3).

Fourth, beyond $6$, repair fails、with $4$ errors (a sum of $8$) only $2$ of $30$ were repaired, and with $3$ errors and $2$ erasures (also $8$) none. With $7$ erasures, the remaining $5$ symbols cannot determine $6$ information symbols (Section 3).

Fifth, the separator is whether the position of the damage is known、if it is, one only has to determine the original from what remains. If not, redundancy is also needed to find where the damage is, and the number that can be repaired halves (Section 4).

Keywords: error-correcting code, erasure correction, Hamming code, Reed-Solomon code, minimum distance

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/619/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/619 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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