YOI 678：電池の残量が電圧で読めないのは、濃度が対数でしか効かないからである

論文678 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/678 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014785）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi678,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Voltage Cannot Read the Charge Left, Because Concentration Enters Only as a Logarithm},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/678},
  doi = {10.5281/zenodo.23014785},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973884・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 06:51（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

電圧を見れば残量が分かる、と言われる。だが電圧と濃度をつなぐ式は対数であり、$10$ 倍の濃度差が $59$ mV にしかならない。この傾きが、測る側に何を強いるのかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。濃度が $10$ 倍になっても、電圧は $59$ mV しか動かない。$25$ ℃・$1$ 価で $\mathbf{59.159350}$ mV/decade、$1000$ 倍の濃度差でも $\mathbf{177.478049}$ mV である（第2節）。

第二に、だから残量計としては使えない。活物質が $1$ 割から $9$ 割まで使われる間の電圧の動きは $\mathbf{112.904733}$ mV、$1$ % から $99$ % まで広げても $\mathbf{236.120961}$ mV にしかならない（第2節）。

第三に、逆向きに読むと、測る側の精度が問われる。電圧を $5$ mV 読み違えると濃度は $\mathbf{1.214836}$ 倍ずれ、$10$ mV なら $\mathbf{1.475825}$ 倍ずれる（第2節）。

第四に、傾きそのものも定数ではない。$0$ ℃ で $\mathbf{54.198814}$、$60$ ℃ で $\mathbf{66.104100}$ mV/decade と $\mathbf{1.219660}$ 倍動き、$2$ 価ではちょうど半分の $\mathbf{29.579675}$ mV/decade になる（第3節）。

第五に、pH 計は、この傾きの上に立っている。$0.01$ pH を読むには $\mathbf{0.591593}$ mV を読む必要があり、精度の要求は電圧計の側に丸ごと移る（第3節）。

第六に、分離子は、量が対数で効くか線形で効くかである。対数で効くなら、広い範囲を狭い電圧に畳み込む代わりに、分解能を失う（第4節）。

キーワード：ネルンストの式、電極電位、濃度と電位の対数関係、残量推定、pH 測定、温度補償

Abstract

Voltage is said to tell how much charge is left. But the equation joining voltage to concentration is logarithmic, and a tenfold difference amounts to only $59$ mV. What that slope demands of whoever measures is counted here. No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. A tenfold change in concentration moves the voltage by only $59$ mV、$\mathbf{59.159350}$ mV/decade at $25$ degrees Celsius and unit charge, and even a thousandfold difference gives $\mathbf{177.478049}$ mV (Section 2).

Second, so it cannot serve as a fuel gauge、from $10$ % to $90$ % used the voltage moves $\mathbf{112.904733}$ mV, and widening the range to $1$ % and $99$ % gives only $\mathbf{236.120961}$ mV (Section 2).

Third, read backwards, the burden falls on the precision of the measurement、a $5$ mV error puts the concentration out by $\mathbf{1.214836}$, and a $10$ mV error by $\mathbf{1.475825}$ (Section 2).

Fourth, the slope itself is not a constant、it is $\mathbf{54.198814}$ mV/decade at $0$ and $\mathbf{66.104100}$ mV/decade at $60$ degrees Celsius, a factor of $\mathbf{1.219660}$, and exactly halved at $\mathbf{29.579675}$ mV/decade for a doubly charged ion (Section 3).

Fifth, the pH meter stands on this same slope、reading $0.01$ pH requires reading $\mathbf{0.591593}$ mV, so the demand passes wholly to the voltmeter (Section 3).

Sixth, the separator is whether a quantity enters logarithmically or linearly、entering logarithmically folds a wide range into a narrow voltage, and gives back no resolution for it (Section 4).

Keywords: Nernst equation, electrode potential, logarithmic concentration dependence, state of charge, pH measurement, temperature compensation

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/678/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/678 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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