YOI 733：誤差には最小が在るが、その最小の位置は模型の性質ではなく、手持ちのデータ数で動く

論文733 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/733 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015055）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi733,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Error Has a Minimum, but Where That Minimum Sits Is Not a Property of the Model: It Moves with How Much Data You Hold},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/733},
  doi = {10.5281/zenodo.23015055},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

模型が複雑すぎても単純すぎても誤差は大きい。その間に最小が在ることは知られている。ここで数えるのは、その最小がどこに在るかは模型の性質ではないということである。最小の位置がデータ数で動くことを示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、二つの項は逆向きに動く。自由度 $1$ で偏り $\mathbf{4.000000}$・分散 $\mathbf{0.010000}$、自由度 $32$ で偏り $\mathbf{0.003906}$・分散 $\mathbf{0.320000}$ である（第2節）。

第二に、だから内側に最小が在る。データ数 $100$ では自由度 $9$ で $\mathbf{1.139383}$ になり、両端の $\mathbf{5.010000}$ と $\mathbf{1.323906}$ より小さい（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。最小の位置はデータ数で動く。データ数 $20$ では自由度 $5$、$2500$ では自由度 $27$ で、$\mathbf{5.400000}$ 倍になる（第3節）。

第四に、だから「ちょうどよい複雑さ」は模型の性質ではない。同じ模型の族でも、手持ちのデータ数が変われば答が変わる（第3節）。

第五に、雑音の項は消えない。データ数を $10^{6}$ にしても、誤差は雑音の $1.0$ を下回れない（第3節）。

第六に、分離子は、数えている誤差が当てはめたデータの上か、当てはめていないデータの上かである。前者なら複雑にするほど小さくなり、最小は在らない（第4節）。

キーワード：偏りと分散、誤差の分解、最適な複雑さ、標本数、消えない雑音、どのデータで数えるか

Abstract

A model too complex and a model too simple both err, and a minimum lies between. What is counted here is that where the minimum lies is not a property of the model.Its location is shown to move with the amount of data.No new theorem or law is claimed.

First, the two terms move in opposite directions、at one degree of freedom, bias $\mathbf{4.000000}$ and variance $\mathbf{0.010000}$; at thirty-two, $\mathbf{0.003906}$ and $\mathbf{0.320000}$ (Section 2).

Second, so a minimum lies inside、at $100$ points it is $\mathbf{1.139383}$ at nine degrees of freedom, below the $\mathbf{5.010000}$ and $\mathbf{1.323906}$ at the ends (Section 2).

Third, and this is the core. The location of the minimum moves with the data、five degrees of freedom at $20$ points and twenty-seven at $2500$, a factor of $\mathbf{5.400000}$ (Section 3).

Fourth, so “the right complexity” is not a property of the model、within one family of models, the answer changes with how much data one holds (Section 3).

Fifth, the noise term does not go away、even at $10^{6}$ points the error cannot fall below the noise at $1.0$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether the error counted is on the data fitted or on data not fitted、on the first it falls with complexity and there is no minimum at all (Section 4).

Keywords: bias and variance, error decomposition, optimal complexity, sample size, irreducible noise, which data the error is counted on

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/733/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/733 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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