YOI 799：濃度で読む位置の細かさは、誤差を濃度の割合で置けばどこでも同じ、分子の数なら遠いほど粗い

論文799 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/799 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015416）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi799,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Position Read from Concentration Is Equally Fine Everywhere with Proportional Error, Coarser Far Away with Count Error},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/799},
  doi = {10.5281/zenodo.23015416},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

勾配を作る分子の濃度から、細胞は自分の位置を読めるか。同じ指数の勾配に二つの誤差の置き方を当て、位置の誤差がどこで何によって決まるかを、一次の式・数値積分・乱数で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、濃度の割合で誤差を置くと、位置の誤差は場所に依らない。一次の式で $\mathbf{0.020000}$、数値積分で $\mathbf{0.020260}$、同じ乱数で三つの位置が $\mathbf{0.020393111}$ で一致する（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。分子の数で誤差を置くと、源から遠いほど指数で粗くなる。位置 $0.1$ で $\mathbf{0.002568}$、位置 $0.9$ で $\mathbf{0.018975}$、比は $e^{2}=\mathbf{7.389056}$（第3節）。

第三に、一次の式と数値積分と乱数は、揺らぎの幅で合う。位置 $0.9$ で数値積分 $\mathbf{0.019196}$、乱数 $\mathbf{0.019203}$、五つの位置のずれの二乗和は $\mathbf{12.979778}$（第3節）。

第四に、片側から送った勾配では、端まで細かく読めない。細胞一つ以内に読めるのは位置 $\mathbf{0.921034}$ までで、端の誤差は $\mathbf{0.024365}$（第4節）。

第五に、両側から送ると、要る分子の数が大きく減る。最悪の誤差は $\mathbf{4.936090}$ 分の $1$、組織の全部を細胞一つ以内で読むのに要る源ごとの分子数は $\mathbf{14841.315910}$ から $\mathbf{609.124698}$ へ、$\mathbf{24.364988}$ 分の $1$（第4節）。

第六に、分離子は、誤差を濃度の割合で置くか、分子の数で置くか、「濃度の勾配は位置を決める」は、誤差をどちらで置くかを言うまで、どこでどれだけ細かく決めるかが決まらない（第5節）。

キーワード：位置情報、濃度の勾配、モルフォゲン、数の揺らぎ、指数の勾配、勾配の長さ

Abstract

Can a cell read its own position from the concentration of the molecules forming a gradient?Two ways of setting the error are applied to the same exponential gradient, and where and by what the position error is set is counted with the first-order formula, numerical integration and random numbers.No new theorem or law is claimed.

First, with the error set as a fraction of concentration, the position error does not depend on place、$\mathbf{0.020000}$ by the first-order formula, $\mathbf{0.020260}$ by numerical integration, and three positions agreeing at $\mathbf{0.020393111}$ with the same random numbers (Section 2).

Second, and this is the core. With the error set by the number of molecules, reading grows exponentially coarser away from the source、$\mathbf{0.002568}$ at position $0.1$, $\mathbf{0.018975}$ at $0.9$, a ratio of $e^{2}=\mathbf{7.389056}$ (Section 3).

Third, the first-order formula, numerical integration and random numbers agree within the width of fluctuation、at position $0.9$, $\mathbf{0.019196}$ by integration and $\mathbf{0.019203}$ by random numbers; the sum of squared deviations over five positions is $\mathbf{12.979778}$ (Section 3).

Fourth, a gradient sent from one side cannot be read finely to the far end、positions can be read to within one cell only up to $\mathbf{0.921034}$, and the error at the end is $\mathbf{0.024365}$ (Section 4).

Fifth, sending gradients from both sides greatly reduces the molecules needed、the worst error falls by a factor of $\mathbf{4.936090}$, and the molecules needed per source to read the whole tissue to within one cell drop from $\mathbf{14841.315910}$ to $\mathbf{609.124698}$, a factor of $\mathbf{24.364988}$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether the error is set as a fraction of concentration or by the number of molecules、“a concentration gradient determines position” does not fix where and how finely it does so until one says which way the error is set (Section 5).

Keywords: positional information, concentration gradient, morphogen, counting fluctuation, exponential gradient, decay length

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/799/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/799 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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