Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

量子ビットに入る誤りは連続無限にある。それを有限個の符号で訂正できるのは、なぜか。本稿が問うのは、離散化しているのは誰かである。答は、符号ではなく測定である。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、一量子ビットの誤りを数える。$E=c_0I+c_1X+c_2Y+c_3Z$ には実パラメータが $\mathbf{8}$ つあり、連続無限である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。測定がそれを $I,X,Y,Z$ の $\mathbf{4}$ 通りに射影する。離散にしているのは測定であって、符号ではない（第2節）。

第三に、$X$ と $Z$ を直せば $Y$ も直る。$Y=iXZ$ だから、独立に直すべきは $2$ 種類だけである（第3節）。

第四に、符号が直せるのはごく一部である。$9$ 量子ビットのパウリ演算子 $4^9=\mathbf{262144}$ 個のうち、距離 $3$ が直すのは $\mathbf{28}$ 個、割合は $\mathbf{1.068\times10^{-4}}$（第4節）。

第五に、表面符号では $3.24$ 倍で $100$ 分の一である。$d=5\to9$、物理量子ビット $25\to81$ で論理誤り率 $10^{-3}\to10^{-5}$（第5節）。

第六に、分離子は「射影があるか」である。古典符号には射影が要らない。誤りが最初から離散だからである（第6節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。誤りの離散化、パウリ基底、安定符号、表面符号、閾値定理は、いずれも標準的である。符号を作らない。数えるのはパラメータの個数と、誤りの個数だけである。閾値定理を証明しない。$p_{th}\approx10^{-2}$ という値は数値として引くのみである。論理誤り率の式を導出しない。$(p/p_{th})^{(d+1)/2}$ は漸近形の目安であり、定数因子を無視している。第5節の値は「桁」であって予言値ではない。表面符号の実装を論じない。格子の形も、測定回路も、デコーダも一切扱わない。物理量子ビット数 $\approx d^2$ は最も単純な見積りである。相関誤りを扱わない。第4節の数え上げは独立な単一量子ビット誤りを仮定している。相関があれば重み $1$ の枠から外れる。$1.068\times10^{-4}$ を悲観的に読まない。これは全パウリ演算子に対する割合であって、実際に起きる誤りに対する割合ではない。起きやすい誤りが重み $1$ に集中していれば実用上は十分である。本稿はどちらが実際かを主張しない。兄弟編について：論文281 は同じ量子誤り訂正を扱い、シンドロームが誤りについて $8$ ビット・状態について $0$ ビット語ることを数えた。根は同じ（測定が状態を壊さない）だが、問いが違う。あちらは測定が何を取らないか、本稿は測定が何を離散にするかである。読者は両方を並べて読むことを勧める。既刊との関係：論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた。本稿は構成された符号が実際に何個の誤りを覆うかを数える。論文179 は「構成できない」に別根があると示した。本稿の $d=4$ 不可も数え上げが根である。論文252 は「情報量」が四つあると数えた。本稿は連続なパラメータと離散な結果を分ける。論文269 は結晶が禁じるのが周期性だと示した。本稿の離散化も構造が課すものである。加えたのは一量子ビットの誤りが実パラメータ $8$ つで、測定後に $4$ 通りになると数えたこと、$4^9=262144$ に対して距離 $3$ が覆うのが $28$ 個・$1.068\times10^{-4}$ だと計算したこと、表面符号で $3.24$ 倍が $100$ 分の一に対応すると確かめたこと、古典との差を「射影が要るかどうか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：一量子ビットに入る誤りは、$2\times2$ の行列 $E$ で表される。パウリ行列を基底に取れば

$$E=c_0 I+c_1 X+c_2 Y+c_3 Z$$

と書ける。

問い：$c_i$ は連続に動く。それでも有限個の誤りしか直せない符号で訂正できるのは、なぜか。

観察 1.1　よくある説明は「符号が誤りを離散化する」である。本稿はこれを正確でないと見る。離散化しているのは測定である。

2. 芯：$8$ つの実パラメータが $4$ 通りに落ちる

検算 2.1：測定の前後で、誤りの自由度を数える。

観察 2.2　これが本稿の芯である。符号は何も離散化していない。シンドローム測定が、状態を四つの枝のどれか一つに射影する。そのあとに残っているのは一つのパウリ誤りであり、それを打ち消せばよい。

観察 2.3　したがって「連続が離散になる」のは測定のしわざである。同じ射影が、論文281 では状態について $0$ ビットしか取らないという形で現れた。同じ一つの測定が、二つの働きをしている。

検算 2.4：$n$ 量子ビットに広げる。

観察 2.5　$n=9$ でも、測定後に残るのは $\mathbf{262144}$ 通りの離散な誤りである。$524288$ 次元の連続空間が、有限集合に落ちている。この落下だけが、訂正を可能にしている。

3. $X$ と $Z$ を直せば、$Y$ も直る

観察 3.1　パウリ行列には $Y=iXZ$ という関係がある。したがって $X$ 型の誤りと $Z$ 型の誤りを別々に直せる符号は、$Y$ 型も自動的に直る。$3$ 種類ではなく $2$ 種類を直せばよい。

観察 3.2　ショアの $9$ 量子ビット符号がこの形をしている。三個ずつの束で位相反転（$Z$）を、束の中でビット反転（$X$）を直す。$3\times3$ という構造は、$2$ 種類を別々に扱うためのものである。

観察 3.3　ここが古典符号と違う点である。古典では誤りはビット反転の一種類しかない。位相という自由度が無いからである。

検算 3.4：同じ距離の古典符号と量子符号で、直すべき誤りの数を比べる。

観察 3.5　同じ $n=7$、同じ距離 $3$ で、量子符号は $\mathbf{2.75}$ 倍の誤りを覆わねばならない。それでも $k=1$ が取れる。古典の $k=4$ と比べて、埋め込める情報が $4$ 分の一に減っている。

4. 符号が直せるのは、$1.068\times10^{-4}$ にすぎない

設定：距離 $d$ の符号は重み $t=\lfloor(d-1)/2\rfloor$ 以下のパウリ誤りを直す。その個数は $\sum_{k=0}^{t}\binom{n}{k}3^k$ である。

検算 4.1：

観察 4.2　$9$ 量子ビットのパウリ誤りは $\mathbf{262144}$ 通りあり、距離 $3$ の符号が直せるのは $\mathbf{28}$ 通りだけである。割合は $\mathbf{1.068\times10^{-4}}$、符号は、ほとんどの誤りを直せない。

観察 4.3　しかも符号を大きくすると、割合は急速に下がる。$d=9$ では $2.345\times10^{-41}$、直せる誤りの数は増えるのに、全体に占める割合は $10^{37}$ 分の一に落ちる。

観察 4.4　正直に書くべき点、この数を悲観的に読んではいけない。これは全パウリ演算子に対する割合であって、実際に起きる誤りに対する割合ではない。物理的な誤りが重み $1$ のあたりに集中していれば、$28$ 個で足りる。

観察 4.5　したがって符号が前提しているのは「誤りが疎である」ことである。相関誤りが入れば、この仮定は破れる。$1.068\times10^{-4}$ という数は、その仮定の重さを示している。

5. 表面符号：$3.24$ 倍で $100$ 分の一

設定：表面符号は物理量子ビット数がおよそ $d^2$ で、論理誤り率が $(p/p_{th})^{(d+1)/2}$ に従う。$p=10^{-3}$、$p_{th}=10^{-2}$ とする。

検算 5.1：

検算 5.2：代償を比で書く。

観察 5.3　物理量子ビットを $\mathbf{3.24}$ 倍にすると、論理誤り率が $\mathbf{100}$ 分の一になる。三倍の資源で二桁、多項式の代償で指数の利得であり、これが閾値定理の中身である。

観察 5.4　ただし $p<p_{th}$ でなければならない。$p>p_{th}$ なら $(p/p_{th})>1$ となり、$d$ を上げるほど悪くなる。同じ式が、閾値の両側で向きを変える。

観察 5.5　正直に書くべき点、$(p/p_{th})^{(d+1)/2}$ は定数因子を落とした漸近形である。第5節の値は「桁」であって、実機の予言ではない。

6. 分離子：射影が要るかどうか

観察 6.1　分離子、何を動かすと、離散化の必要が消えるか。誤りが最初から離散であることである。

観察 6.2　古典符号では、誤りはビットが反転したかどうかであり、中間が無い。量子では振幅がわずかにずれるという誤りがある。「わずかにずれた」を直すことはできないが、測ってしまえば「ずれた」か「ずれていない」かになる。

観察 6.3　これは論文269 の構図と似ている。あちらでは周期性という構造が、許される対称性を離散な五つに絞った。ここでは測定という操作が、連続な誤りを離散な四つに絞る。どちらも、絞っているのは対象そのものではない。

観察 6.4　論文163 は「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けた。本稿は構成された符号について、それが実際に何を覆うかを数えた。$262144$ 個のうち $28$ 個であり、存在の証明では見えない数である。

7. 点呼と結び

1. 一量子ビットの誤りは実パラメータ $8$ つ（検算2.1）：連続無限。
2. 測定後は $4$ 通り（検算2.1）：離散化は測定のしわざ。
3. $n=9$ で $4^9=262144$（検算2.4）：$524288$ 次元が有限集合に落ちる。
4. $Y=iXZ$（観察3.1）：独立に直すのは $2$ 種類。
5. 古典 $8$ 対 量子 $22$（検算3.4）：$2.75$ 倍。
6. 距離 $3$ が直すのは $28$ 個（検算4.1）：$1.068\times10^{-4}$。
7. $d=9$ では $2.345\times10^{-41}$（検算4.1）：割合は下がる。
8. $d=5\to9$ で $3.2400$ 倍（検算5.2）：論理誤り率 $1/100$。
9. $p>p_{th}$ なら逆向き（観察5.4）：同じ式が向きを変える。
10. 古典に射影は要らない（観察6.1）：最初から離散だから。

結び：量子誤り訂正でよく言われる「連続な誤りが離散化される」は正しい。ただし離散化しているのは符号ではなく、測定である。一量子ビットの誤りには実パラメータが $\mathbf{8}$ つあり、連続無限であるが、シンドローム測定が $I,X,Y,Z$ の $\mathbf{4}$ 通りに射影する。そのあとに残るのは一つのパウリ誤りであり、打ち消せばよい。$Y=iXZ$ なので、独立に直すべきは $2$ 種類である。一方で、符号が覆う範囲は狭い。$9$ 量子ビットのパウリ誤り $\mathbf{262144}$ 通りのうち、距離 $3$ が直せるのは $\mathbf{28}$ 通り、$\mathbf{1.068\times10^{-4}}$ にすぎない。それでも動くのは誤りが疎だという仮定が効いているからである。そして代償は多項式で済む、物理量子ビットを $\mathbf{3.24}$ 倍にすると、論理誤り率が $\mathbf{100}$ 分の一になる。分けるものは一つ、誤りが最初から離散か、射影を要するか。古典符号に射影は要らない。量子符号では、測ることが訂正の前提であり、測ることが状態を壊さないという別の事実が、それを可能にしている。

参考文献

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5. Fowler, A. G., Mariantoni, M., Martinis, J. M. and Cleland, A. N. (2012). Surface Codes: Towards Practical Large-Scale Quantum Computation. Physical Review A, 86(3).
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7. Nielsen, M. A. and Chuang, I. L. (2010). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge: Cambridge University Press.
8. 山岸勇輝 (2026). 「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」は、別の文である [論文163]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092677
9. 山岸勇輝 (2026). 複製できないのに、訂正はできる [論文281]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171058
10. 山岸勇輝 (2026). 「構成できない」にも別根がある [論文179]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22098419
11. 山岸勇輝 (2026). 「情報量」は四つあり、要るものが違う [論文252]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22161148
12. 山岸勇輝 (2026). 結晶が禁じているのは対称性ではなく、周期性である [論文269]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22169855

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「連続無限の誤りを離散にしているのは、符号ではなく測定である」［論文287］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22171265

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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