【論文1092】密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである

要旨

論文01 は、3 次元の空間で球殻ひとつぶんの重さが半径によらないのは密度が 1/r² のときだけだと示し、論文02 は、そのとき半径 1 の中の重さが全立体角 4π になることを示した。本稿は、この「2」を次元に広げる道が二つあり、二つが同じ数になるのは 3 次元だけであることを、数で示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、広げ方は二つある。球殻の重さを一定にする指数は d−1 で、論文114 がどの次元にもある族として表にした。もう一つは、どの半径で区切っても、中の重さが同じ半径に地平線を持つブラックホール（タンゲルリーニの解）の重さに等しい分布で、その指数はどの次元でも 2 である。d＝3・4・5・6 で、前者は 2・3・4・5、後者は 2・2・2・2 になった。

第二に、3 次元の係数には 8πG が出る。地平線のつり合いの分布は ρ＝c²/(8πG r²) で、8πG を 1 と置く単位では、論文02 の分布 1/r² そのものが、どの半径でも 2GM/r＝1 になる（半径 0.5・1・2・10 で 1.000000000）。G＝4π（論文35）なら係数は $\mathbf{0.003166287}$ である。「ちょうど 1」は単位の選び方から来る。

第三に、これが本稿の芯である。二つの 2 は根が違う。重力の側の 2 は、G と密度の積が、どの次元でも時間の二乗の逆数であることから来る。止まった殻を落とす時間は半径 1・2・5 で同じで、3 次元で $\mathbf{0.542700}$、4 次元で $\mathbf{0.450180}$、5 次元で $\mathbf{0.398700}$ だった。球殻の側の d−1 は、球面の次元を数える。二つが同じ数になるのは d−1 が 2 になる 3 次元だけである。

第四に、宇宙の側の一致は次元を選ばない。ニュートンの殻（論文907）を d 次元で動かすと、平らな宇宙のハッブル球の重さは、どの次元でも同じ半径のブラックホールの重さにちょうど等しい（d＝3 から 10 で外れは最大 4.4e−16）。論文169 が 3 次元で恒等式とした一致は、重力の側の 2 に属する。地平線のつり合いの分布は、どの半径でも中の平均の密度がその半径のハッブル球の臨界密度に等しい、入れ子のハッブル球である。

正直に書くと、ホログラフィー原理が正しいとは言わない。宇宙がブラックホールだとも、この分布が一般相対論で止まって立つとも言わない。分かったのは、論文01 の 2 が、表面の数え方の 2 と重力のつり合いの 2 を、3 次元で重ねた数だということである。

キーワード：密度の逆二乗、球殻、地平線、タンゲルリーニの解、ハッブル球、空間の次元、ホログラフィー。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。d 次元の空間のシュワルツシルトの解（Tangherlini 1963）、その質量・温度・エントロピーの書き方（Myers と Perry 1986）、平らな宇宙の膨張がニュートンの殻で出ること、ある領域の自由度を境の面積で数えるホログラフィー原理の言い方（’t Hooft 1993、Susskind 1995）は、いずれも既知である。ホログラフィー原理が正しいとは言わない。その原理は面積で数える形で述べられ、次元を選ばないので、本稿の 3 次元だけの重なりは、その証拠でも反証でもない。宇宙がブラックホールだとは言わない。ハッブル球の一致は、平らな宇宙の定義から出る恒等式として扱う。この分布が一般相対論で止まって立つとは言わない。どの半径も地平線の深さにあるので、静かな星としては立たない。数えるのは、ニュートンの見方と、質量と半径の関係までである。量子重力を扱わない。既刊との関係：論文01 は 3 次元の n＝2 の唯一性を示し、その 2 を画素の数え方とも読んだ。論文02 は、そのとき半径 1 の中の重さが 4π になることを示した。ここでは、その 2 を次元に広げる二つ目の道（地平線のつり合い）を数え、一つ目の道との違いを見る。論文08 と論文114 は、n＝d−1 の唯一性がどの次元にもある族であることを書いた。ここでは、それが一つ目の道で、二つ目の道の指数はどの次元でも 2 であることを数える。論文169 は、ハッブル半径と臨界密度の一致が 3 次元で恒等式であることを示し、論文907 は、膨張の式が塵ならニュートンの殻で出ることを数えた。ここでは、同じ殻を d 次元で動かし、一致がどの次元でも成り立つことを確かめる。論文910 は、冪の密度で回転曲線が平らになるのは n＝2 だけだと数えた。ここでは、地平線のつり合いの分布が、その平らな回転曲線のいちばん速い形であることを見る。論文1085 は、アインシュタインの方程式の係数とポアソン方程式の係数の比が次元でどう動くかを数え、論文1086 は、自由落下の時間の 3π/32 を数えた。ここでは、その比をブラックホールの解の加速度から測り直し、落ちる時間が半径によらないことを d 次元で確かめる。論文35 と論文60 は、4π を質量や重力の定数に置くことを単位の選び方として扱い、論文59 は、半径を 1 と置いた帰結を見分けた。ここでの 8πG＝1 も単位の選び方として扱う。論文73 と論文74 は、ブラックホールのエントロピーの 1/4 と、重力を熱やエントロピーから読む研究を扱った。ここでは、その手前の、密度の指数の事実だけを扱う。加えたのは、地平線のつり合いの指数がどの次元でも 2 であることと、その係数、二つの 2 が 3 次元でだけ重なることの数、重力の側の 2 が時間の二乗から来ることの確かめ、ハッブル球の一致が次元を選ばないことと、入れ子のハッブル球である。

1. 問い

論文01 は、3 次元の空間で、球殻ひとつぶんの重さ $dm/dr=4\pi r^{2-n}$ が半径によらないのは $n=2$ のときだけであることを示した。論文02 は、そのとき半径 1 の中の重さが全立体角 $4\pi$ に一致することを示した。論文01 の要旨は、この 2 を「画面の画素数が $4\pi r^{2}$ で増えるので、画素あたりのデータ密度が $1/r^{2}$ になる」とも読んでいる。表面で数える見方である。

論文114 は、この定理を $d$ 次元に広げると指数は $n=d-1$ になり、どの次元にもある族であることを表にした。4 次元の $n=3$ は論文08 が扱った。しかし、3 次元の $n=2$ を広げる道は、これだけではない。密度 $1/r^{2}$ には、重力の側の顔もある。論文910 は、冪の密度で回転曲線が平らになるのは $n=2$ だけだと数えた。本稿は、重力の側の広げ方を一つ立て、それが球殻の側と同じ指数になるのは 3 次元だけであることを、数で示す。

2. 二つの広げ方

$d$ 次元の空間に、密度 $\rho=A r^{-n}$ を置く。半径 $r$ の中の重さと、球殻ひとつぶんの重さは

$$M(r)=\frac{S_{d-1}A}{d-n}\,r^{d-n},\qquad \frac{dm}{dr}=S_{d-1}A\,r^{d-1-n}\qquad(n<d)$$

である。$S_{d-1}$ は半径 1 の球面の面積で、3 次元で $4\pi$、4 次元で $2\pi^{2}$ である。

一つ目の広げ方は論文01 のもので、$dm/dr$ が半径によらないことを求める。指数は $n=d-1$ である。

二つ目は、どの半径で区切っても、中の重さが、その半径に地平線を持つブラックホールの重さに等しいことを求める。$d$ 次元の空間のブラックホールはタンゲルリーニの解（Tangherlini 1963）で、$f=1-\mu/r^{d-2}$ の地平線の半径 $r$ と質量のあいだに

$$M_{\mathrm{bh}}(r)=\frac{(d-1)\,S_{d-1}}{16\pi G}\,r^{d-2}$$

が成り立つ（作用の $G$ で書く・Myers と Perry 1986・光の速さは 1）。中の重さとこの重さの比は $r^{2-n}$ に比例するので、指数は $n=2$ である。

半径 1 から 2 への傾き（2 を底にした対数）を、四つの次元で数えた。

3 次元では、二つの傾きはどの $n$ でも同じ数になる（$n=1$ で $+1.000$ と $+1.000$、$n=2.5$ で $-0.500$ と $-0.500$）。4 次元では、$n=2$ で $+1.000$ と $+0.000$、$n=3$ で $+0.000$ と $-1.000$ に分かれる。3 次元の 2 は、二つの条件を同時に満たす。次元を変えると、二つは別の指数になる。

3. ブラックホールの側の式がそろっているか

本稿が使うのは、タンゲルリーニの解の三つの式である。質量は上の $M_{\mathrm{bh}}$、温度は $T=(d-2)/(4\pi r)$、エントロピーは $S=S_{d-1}r^{d-1}/(4G)$ である。三つが第一法則 $dM=T dS$ を満たすことを、$d=3$ から 10 と三つの半径で確かめた。外れの最大は $2.845\times10^{-11}$ だった。

ニュートンの力の定数 $G_N$（力 $=G_N Mm/r^{d-1}$）は、式を写さずに、解の重力の加速度 $\tfrac12 f'(r)$ から測った。$G_N/G$ は 3 次元で $1.000000000$、4 次元で $0.848826363$、5 次元で $0.716197244$ で、$8\pi(d-2)/((d-1)S_{d-1})$ と $1.5\times10^{-9}$ 以内で合った。この比は、論文1085 が数えた、アインシュタインの方程式の係数とポアソン方程式の係数の比 $(d-1)/(d-2)$ から来ている。

地平線の半径でのポテンシャルの深さ $G_N M/((d-2)r^{d-2})$ は、$d=3$ から 10 のどれでも $0.500000000$ だった。地平線は、ニュートンの見方で逃げる速さが光の速さになる所に、どの次元でもちょうど置かれている。

4. 係数と、単位の選び方

どの半径でも $M(r)=M_{\mathrm{bh}}(r)$ にする係数は

$$A=\frac{(d-1)(d-2)}{16\pi G}$$

で、$16\pi G\times A$ は $d=3$ から 6 で 2、6、12、20 である。3 次元では $\rho=c^{2}/(8\pi G r^{2})$ で、アインシュタインの方程式の $8\pi G$ がそのまま出る。$G=1$ なら $A=0.039788736$ である。

単位の選び方で、$A$ は動く。

$8\pi G=1$ では、論文02 の分布 $\rho=1/r^{2}$ が、そのまま地平線のつり合いの分布になる。半径 1 の中の重さは $12.566370614$（$4\pi$）で、$2GM(r)/r$ は半径 0.5、1、2、10 のどれでも $1.000000000$ だった。$2GM/r=2G\times4\pi$ だから、論文02 の $4\pi$ と地平線の $8\pi G$ が、一本の式の中で向き合っている。

ただし、これは単位の選び方である（論文35・60）。「ちょうど 1」は、$8\pi G$ を 1 と置いたことから来る。論文59 が、体積が 5 次元で最大になることを半径を 1 と置いた帰結と見分けたのと同じ型である。$G=4\pi$ なら係数は $1/(32\pi^{2})$ で、論文02 の分布の $32\pi^{2}$ 分の 1 になる。動かないのは、指数が 2 であることと、係数の形 $(d-1)(d-2)/(16\pi G)$ である。

5. なぜ重力の側は 2 なのか

重力の側の指数がどの次元でも 2 である理由は、重力の定数と密度の積が、どの次元でも時間の二乗の逆数であることにある。ポテンシャルは速さの二乗の次元を持ち、ポアソン方程式はその二階微分を $G_N\rho$ に結ぶからである。

確かめた。$d$ 次元の一様な球の縁の殻を、ニュートンの力だけで、止まった所から落とした（$G_N\rho=1$）。中心の近く（半径の 1000 分の 1）まで落ちる時間は、半径 1、2、5 のどれでも同じだった。

時刻は刻み $2\times10^{-5}$ の回数で数えたので、同じ回数になったことを「同じ」と書いた。3 次元の値は、自由落下の時間の式 $\sqrt{3\pi/(32G\rho)}=0.542701$（論文1086）の $0.999998$ 倍である。半径が入らず、$G_N\rho$ だけで時間が決まる。

地平線と同じ深さ（$1/2$）になる一様な球は、どの次元でも $G_N\rho R^{2}$ が一定で、その値は $(d-2)/(2V_d)$ である（$V_d$ は半径 1 の球の体積）。$d=3$ から 6 で $0.119366207$、$0.202642367$、$0.284965829$、$0.387018413$ だった。密度は半径の二乗に反比例する。ここの 2 は、深さ（速さの二乗）を作る時間の二乗の 2 で、次元を数えていない。

一方、球殻の側の $d-1$ は、$dm/dr=S_{d-1}r^{d-1}\rho$ の $r^{d-1}$、すなわち半径 $r$ の球面の面積の冪で、球面の次元を数える。二つの 2 は根が違う。同じ数になるのは $d-1=2$、すなわち 3 次元だけである。

6. 宇宙の側：ハッブル球の一致は次元を選ばない

論文169 は、3 次元で、ハッブル半径 $R=c/H$ と臨界密度から $GM/(Rc^{2})$ がちょうど 0.5 になり、これが平坦性から出る恒等式であることを示した。同じことを $d$ 次元で確かめた。

エネルギーが 0 の殻を $d$ 次元のニュートンの力で動かすと（論文907 の方法）、

$$\frac12\dot r^{2}=\frac{G_N M}{(d-2)\,r^{d-2}},\qquad M=V_d r^{d}\rho\quad\Longrightarrow\quad H^{2}=\frac{2G_N V_d\,\rho}{d-2}$$

が出る。$G_N$ の式を入れると $H^{2}=16\pi G\rho/(d(d-1))$ で、3 次元では $8\pi G\rho/3$ に戻る（$d=3$ から 10 で比の外れは最大 $4.4\times10^{-16}$）。

このとき、平らな宇宙のハッブル球の重さは、同じ半径に地平線を持つブラックホールの重さに等しい。$d=3$ から 10 のどれでも、比は $1.000000000000$ だった（外れは最大 $4.4\times10^{-16}$）。3 次元では、$H=50$、67.4、100 のどれでも $GM/(Rc^{2})=0.500000000$ で、論文169 の数が出る。理由は、球の体積の $d$ 倍が球面の面積になること（$V_d\times d=S_{d-1}$）で、ハッブル球の一致は次元を選ばない。

地平線のつり合いの $1/r^{2}$ の分布は、どの半径で区切っても、中の平均の密度が、その半径のハッブル球の臨界密度に等しい（$d=3$ から 8、三つの半径で確かめた）。入れ子になったハッブル球である。縁の密度は中の平均の $(d-2)/d$ 倍で、$d=3$、4、5 で $0.333333333$、$0.500000000$、$0.600000000$ だった。宇宙の側の一致も、重力の側の 2 に属する。次元を選ぶのは、論文01 の球殻の側との重なりのほうである。

7. 回転の速さ

地平線のつり合いの分布では、ニュートンの見方での円軌道の速さが、どの半径でも同じで、$v^{2}=(d-2)/2$ である。3 次元で光の速さの $0.707106781$ 倍になる。論文910 が数えた平らな回転曲線の、いちばん速い形である。4 次元では $1.000000000$ 倍、5 次元では $1.224744871$ 倍で、光の速さに届くか越えるので、ニュートンの見方はそこで使えない。3 次元でも、この分布は一般相対論では止まって立てない（どの半径も地平線の深さにある）。数えたのは、ニュートンの見方での形までである。

8. 表面の数え方と、重力のつり合い

ホログラフィー原理は、ある領域の中で起きることの自由度が、その境の面の面積で数えられるという考えである（’t Hooft 1993、Susskind 1995）。体系は、論文73 でブラックホールのエントロピーの 1/4 を、論文74 で重力を熱やエントロピーから読む研究を扱った。

本稿の二つの 2 は、その手前にある小さな事実である。球殻の側の 2 は、表面（球面）の次元を数える。論文01 の「画素」の読みは、この側にある。重力の側の 2 は、重力の定数と密度の積が時間の二乗の逆数であることから来る。ブラックホールの地平線とハッブル球は、この側にある。3 次元では、球殻ひとつぶんの重さが一定であることと、どの半径でも地平線のつり合いにあることが、同じ一つの分布で起きる。

ただし、ホログラフィー原理は面積で数える形で述べられ、次元を選ばない。本稿の 3 次元だけの重なりは、その原理の証拠でも反証でもない。言えるのは、3 次元が、表面で数えることと重力のつり合いが同じ指数を持つ次元だ、ということである。

9. 検算で一度止まった所

下見の検算で、$G_N$ を遠く（$r=1000$）の $f=1-\mu/r^{d-2}$ の差から測ったところ、$d$ が大きいほど外れ、$d=10$ では 0 になった。1 に近い数どうしの引き算で、桁が落ちたためである。$\mu/r^{d-2}$ そのものの差を取る形に直すと、外れは $1.5\times10^{-9}$ になった。本稿の検算は、直した形で測っている。

結び

結び：論文01 の密度 1/r² の 2 は、二つの 2 の重なりである。球殻の重さを一定にする指数は d−1 で、どの半径でもブラックホールと同じつり合いにする指数はどの次元でも 2 だった。止まった殻を落とす時間は半径によらず、3 次元で $\mathbf{0.542700}$ で、重力の側の 2 は時間の二乗から来る。平らな宇宙のハッブル球は、どの次元でもブラックホールと同じつり合いにあり、地平線のつり合いの分布は入れ子のハッブル球だった。8πG を 1 と置く単位では、論文02 の分布 1/r² が、そのまま地平線のつり合いの分布になる。正直に書くと、ホログラフィー原理が正しいとも、宇宙がブラックホールだとも言っていない。分かったのは、3 次元が、表面で数えることと重力のつり合いが同じ指数を持つ次元だということである。分離子は、空間の次元である。

参考文献

1. ’t Hooft, G. (1993). Dimensional reduction in quantum gravity. arXiv:gr-qc/9310026.
2. Myers, R. C., & Perry, M. J. (1986). Black holes in higher dimensional space-times. Annals of Physics.
3. Susskind, L. (1995). The world as a hologram. Journal of Mathematical Physics.
4. Tangherlini, F. R. (1963). Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem. Il Nuovo Cimento.
5. 山岸勇輝 (2026). 『球対称密度分布における $n = 2$ の唯一性定理』[論文01]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21403186
6. 山岸勇輝 (2026). 『$4\pi$ 質量相殺定理』[論文02]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/2 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21403931
7. 山岸勇輝 (2026). 『n=3唯一性定理とホップファイブレーションに基づく4次元ポアンカレ予想とエキゾチック構造の構造的解釈』[論文08]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/8 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21404419
8. 山岸勇輝 (2026). 『山岸万有引力定数解凍理論』[論文35]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/35 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21430118
9. 山岸勇輝 (2026). 『単位球の体積は $5$ 次元で最大になる』[論文59]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/59 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21597865
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12. 山岸勇輝 (2026). 『創発重力の中の山岸パッチ』[論文74]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/74 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21670102
13. 山岸勇輝 (2026). 『「4次元らしさ」を担うのは誰か』[論文114]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/114 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21963544
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15. 山岸勇輝 (2026). 『宇宙の膨張の式は塵ならニュートンの殻で厳密に出て、光なら減速が二倍外れる』[論文907]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/907 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22804787
16. 山岸勇輝 (2026). 『回転曲線が平らな区間は、そこの密度を決め、内側には囲む質量だけを課す』[論文910]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/910 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22804897
17. 山岸勇輝 (2026). 『8π の 2 の点呼：出どころは十通りあり、次元を変えると三つの動き方に分かれる』[論文1085]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1085
18. 山岸勇輝 (2026). 『重力の式の π は密度で書くと出て質量で書くと消え、残るのは一周の角の π である』[論文1086]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1086

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである」［論文1092］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092

@misc{yamagishi2026yoi1092,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ``2'' of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092},
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