YOI 1092：密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである

論文1092 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1092】密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである

@misc{yamagishi2026yoi1092,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ``2'' of the Inverse-Square Density Is Two 2s, and the 2 of the Shell Mass Meets the 2 of the Horizon Balance Only in Three Dimensions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月23日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972632・972636・972638・972662 に記録されました（2026年10月23日 01:39（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文01 は、3 次元の空間で球殻ひとつぶんの重さが半径によらないのは密度が 1/r² のときだけだと示し、論文02 は、そのとき半径 1 の中の重さが全立体角 4π になることを示した。本稿は、この「2」を次元に広げる道が二つあり、二つが同じ数になるのは 3 次元だけであることを、数で示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、広げ方は二つある。球殻の重さを一定にする指数は d−1 で、論文114 がどの次元にもある族として表にした。もう一つは、どの半径で区切っても、中の重さが同じ半径に地平線を持つブラックホール（タンゲルリーニの解）の重さに等しい分布で、その指数はどの次元でも 2 である。d＝3・4・5・6 で、前者は 2・3・4・5、後者は 2・2・2・2 になった。

第二に、3 次元の係数には 8πG が出る。地平線のつり合いの分布は ρ＝c²/(8πG r²) で、8πG を 1 と置く単位では、論文02 の分布 1/r² そのものが、どの半径でも 2GM/r＝1 になる（半径 0.5・1・2・10 で 1.000000000）。G＝4π（論文35）なら係数は $\mathbf{0.003166287}$ である。「ちょうど 1」は単位の選び方から来る。

第三に、これが本稿の芯である。二つの 2 は根が違う。重力の側の 2 は、G と密度の積が、どの次元でも時間の二乗の逆数であることから来る。止まった殻を落とす時間は半径 1・2・5 で同じで、3 次元で $\mathbf{0.542700}$、4 次元で $\mathbf{0.450180}$、5 次元で $\mathbf{0.398700}$ だった。球殻の側の d−1 は、球面の次元を数える。二つが同じ数になるのは d−1 が 2 になる 3 次元だけである。

第四に、宇宙の側の一致は次元を選ばない。ニュートンの殻（論文907）を d 次元で動かすと、平らな宇宙のハッブル球の重さは、どの次元でも同じ半径のブラックホールの重さにちょうど等しい（d＝3 から 10 で外れは最大 4.4e−16）。論文169 が 3 次元で恒等式とした一致は、重力の側の 2 に属する。地平線のつり合いの分布は、どの半径でも中の平均の密度がその半径のハッブル球の臨界密度に等しい、入れ子のハッブル球である。

正直に書くと、ホログラフィー原理が正しいとは言わない。宇宙がブラックホールだとも、この分布が一般相対論で止まって立つとも言わない。分かったのは、論文01 の 2 が、表面の数え方の 2 と重力のつり合いの 2 を、3 次元で重ねた数だということである。

キーワード：密度の逆二乗、球殻、地平線、タンゲルリーニの解、ハッブル球、空間の次元、ホログラフィー

Abstract

Paper 01 showed that in three-dimensional space the mass of one spherical shell is independent of the radius only for a density 1/r², and Paper 02 showed that the mass inside radius 1 then equals the full solid angle 4π.This paper shows with numbers that there are two ways to extend this “2” to other dimensions, and that the two give the same number only in three dimensions.No new theorem or law is claimed.

First, there are two extensions. The exponent that keeps the shell mass constant is d−1, which Paper 114 tabulated as a family present in every dimension. The other is the distribution whose enclosed mass, cut at any radius, equals the mass of a black hole (the Tangherlini solution) with its horizon at that radius; its exponent is 2 in every dimension. For d = 3, 4, 5, 6 the former gave 2, 3, 4, 5 and the latter 2, 2, 2, 2.

Second, in three dimensions the coefficient carries 8πG. The horizon-balance distribution is ρ = c²/(8πG r²); in units with 8πG = 1, the distribution 1/r² of Paper 02 itself has 2GM/r = 1 at every radius (1.000000000 at radii 0.5, 1, 2 and 10). With G = 4π (Paper 35) the coefficient is $\mathbf{0.003166287}$. The “exactly 1” comes from the choice of units.

Third, and this is the core: the two 2s have different roots. The 2 on the side of gravity comes from the fact that the product of the gravitational constant and the density is an inverse time squared in every dimension. The time for a shell released from rest to fall is the same for radii 1, 2 and 5: $\mathbf{0.542700}$ in three dimensions, $\mathbf{0.450180}$ in four and $\mathbf{0.398700}$ in five. The d−1 on the side of the shell counts the dimension of the sphere. The two are the same number only in three dimensions, where d−1 is 2.

Fourth, the cosmological coincidence does not choose a dimension. Running the Newtonian shell (Paper 907) in d dimensions, the mass of the Hubble sphere of a flat universe equals, in every dimension, the mass of the black hole of the same radius (largest deviation 4.4e−16 for d = 3 to 10). The coincidence that Paper 169 showed to be an identity in three dimensions belongs to the 2 of gravity. The horizon-balance distribution is a nest of Hubble spheres: at every radius the mean density inside equals the critical density of the Hubble sphere of that radius.

To be candid, no claim is made that the holographic principle is true, that the universe is a black hole, or that this distribution can stand still in general relativity. What has been found is that the 2 of Paper 01 is the 2 of counting on a surface and the 2 of gravitational balance laid on top of each other in three dimensions.

Keywords: inverse-square density, spherical shell, horizon, Tangherlini solution, Hubble sphere, dimension of space, holography

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1092/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092 はいつも最新の版を指します）。

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