Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

反発係数は材料の表に載っている。本稿が問うのはそれが定数かどうかである。答えは定数ではなく、しかもその速度依存の経験則は自分の適用限界を自分で指し示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$e$ は衝突速度のおよそ $-1/4$ 乗で減る（第2節）。

第二に、速度を $100$ 倍にすると $e$ は $\mathbf{0.31622777}$ 倍になる（第2節）。

第三に、同じ球でも落下高さ 1 m で $0.6204$、100 m で $0.3489$ である（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。この経験則を低速へ延ばすと $\mathbf{0.6561}$ m/s 以下で $e>1$ を予言する（第4節）。

第五に、$e>1$ はエネルギー保存に反するから、これは模型自身が示す適用下限である（第4節）。

第六に、分離子は指数であって、$0$ にすれば速度依存も破れも同時に消える（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。反発係数の速度依存・ハーツ接触・塑性変形はすべて既知である。接触力学を作らない。ハーツ理論の導出や粘弾性の構成則には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。実測をしない。特定の材料の $e$ を測らない。数値は明示した経験則の上でのものである。指数を導かない。$-1/4$ という指数を第一原理から導出しない。経験則として置き、その帰結だけを追う。空気抵抗を扱わない。落下高さから速度を出すときは真空を仮定する。回転を扱わない。斜め衝突・接線方向の反発は主題ではない。既刊との関係：論文352 は転移温度が測定の速さで動くことを示した。そこでも「定数の顔をした量」が条件つきだった。ここでは条件が衝突速度である。論文354 は長さが曲線を測る量でなくなることを示した。そこでも物差しの側に問題があった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。$e$ と、たとえば密度のような真の材料定数は、その基準で別根である。論文353 は条件を落とすと主張が偽になることを示した。ここでは条件を落とすと $e>1$ という物理的に不可能な予言が出る。加えたのは、速度依存を九点で数に出したこと、落下高さ二桁で $e$ が $0.5623$ 倍になることを示したこと、経験則が $e=1$ を予言する速度 $0.6561$ m/s を解いて境目の両側を確かめたこと、指数を $0$ にする対照で式が効いていることを確かめたこと、分離子を指数に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：反発係数の速度依存を、経験則として次の形に置く。

$$e(v)=e_0\left(\frac{v}{v_0}\right)^{-1/4},\qquad e_0=0.90,\quad v_0=1.0\ \mathrm{m/s}$$

観察 1.1　$e$ は材料の表に定数として載っている。鋼球は $0.9$、テニスボールは $0.7$、といった具合である。密度や弾性率と同じ書式で並んでいる。

観察 1.2　だが $e$ は測定条件を含んでいる。どの高さから落として測ったかで値が変わる。密度は落とす高さで変わらない。

観察 1.3　本稿は頭打ちを入れない。$e$ を $1$ で切る処理をあえてしない。模型がどこで破れるかを見るためである。

問い：$e$ は材料の定数か。

2. 速度依存を数に出す

計算 2.1：衝突速度に対する $e$（本稿で計算）。

観察 2.2　速度を上げると $e$ が下がる。$1$ m/s で $0.9000$、$10$ m/s で $0.5061$、向きが一定である。

観察 2.3　速度を $100$ 倍にすると $e$ は $\mathbf{0.31622777}$ 倍になる。$-1/4$ 乗だから $100^{-1/4}=10^{-1/2}$、三割ほどに落ちる。

観察 2.4　$e^2$ で見ると差はさらに大きい。跳ね返る高さの比は $e^2$ である。$1$ m/s で $0.810000$、$100$ m/s で $0.081000$。ちょうど十分の一になる。

観察 2.5　なぜ減るのか。速い衝突ほど塑性変形と内部摩擦に食われる割合が増える。完全に弾性的な衝突は、遅い極限でしか近似的に成り立たない。

3. 同じ球が、二つの高さで二つの値をもつ

計算 3.1：落下高さから衝突速度を出し、$e$ を比べる（本稿で計算・真空を仮定）。

観察 3.2　同じ球の $e$ が $0.6204$ と $0.3489$ である。比は $0.5623$、材料は一つも変わっていないのに、値は $44$ パーセント近く落ちる。

観察 3.3　だから表に載せるには条件が要る。「この球の $e$ は $0.62$」と書くだけでは、どちらの測定か分からない。論文352 で $T_g$ に測定条件が要ったのと同じ形である。

観察 3.4　密度にはこの必要がない。どの高さから落としても密度は変わらない。条件を省略できるかどうかが、二つの量の性格を分けている。

4. 経験則は、自分が破れる速度を指す

計算 4.1：経験則が $e=1$ を予言する速度を解く（本稿で計算）。

観察 4.2　これが本稿の芯である。$0.6561$ m/s より遅い衝突では、この経験則は $e>1$ を予言する。$v=0.1$ m/s では $1.600451$ であり、跳ね返る高さは落とした高さの $2.561445$ 倍になる。

観察 4.3　これはエネルギー保存に反する。衝突でエネルギーが増えることはない。だから $e>1$ は「まだ測っていない領域」ではなく、模型が誤っている領域である。

観察 4.4　境目の両側で符号が変わる。$0.99$ 倍で $1.002516$、$1.01$ 倍で $0.997516$、$1$ をまたいでいる。境目は鋭い。

観察 4.5　ここに使い道がある。経験則の適用下限を、外から与えるのではなく式そのものから読み取れる。「どこまで外挿してよいか」に、模型自身が答えている。

観察 4.6　正直に言えば、実際の低速衝突で $e$ が $1$ に近づくこと自体は正しい。遅い衝突ほど弾性的になるからである。誤っているのは $1$ を超える部分だけであって、向きは合っている。$0.6561$ m/s は「そこから先は別の式が要る」という印である。

5. 分離子：指数

観察 5.1　分離子、速度の指数が $0$ か、$0$ でないか。

観察 5.2　指数を $0$ にすると、二つのことが同時に消える。速度依存が消え、同時に $e>1$ の破れも消える。この二つは同じ一つの指数から出ている。

観察 5.3　これが対照実験である。指数 $0$ では $v=50$ でも $v=0.1$ でも $e=0.9000$ のまま、速度依存が式から来ていることの確認になる。

観察 5.4　分離子は動かせる。指数を $-1/8$ に緩めれば破れる速度は下がり、$-1/2$ に強めれば上がる。適用範囲の広さと速度依存の強さは、一つの数の裏表である。

観察 5.5　正直に言えば、$0.6561$ m/s も $0.3489$ も、$e_0=0.90$・指数 $-1/4$ と明示した経験則の上での値である。別の材料なら別の数が出る。動かないのは、速度依存をもつ冪則は必ずどこかで $e=1$ を横切る、という構造だけである。

観察 5.6　最後に一つ、経験則を外挿したときに物理的に不可能な値が出たら、それは失敗ではなく情報である。$e>1$ は、この式がどこまで有効かを教えている。不可能な予言が出る点を探すことは、適用範囲を測る一つの方法である。

6. 点呼と結び

1. $e$ は $-1/4$ 乗で減る（第1節）：経験則として置く。
2. $1$ m/s で $0.9000$、$10$ m/s で $0.5061$（計算 2.1）：向きが一定。
3. 速度 $100$ 倍で $0.31622777$ 倍（観察 2.3）：$100^{-1/4}=10^{-1/2}$。
4. $e^2$ は $0.810000$ から $0.081000$ へ（観察 2.4）：ちょうど十分の一。
5. 落下 1 m で $0.6204$、100 m で $0.3489$（計算 3.1）：比 $0.5623$。
6. $e=1$ となる速度は $0.656100$ m/s（計算 4.1）：模型の適用下限。
7. $v=0.1$ m/s で $e=1.600451$（計算 4.1）：高さの $2.561445$ 倍。
8. 境目の両側で $1.002516$ と $0.997516$（観察 4.4）：$1$ をまたぐ。
9. 指数 $0$ なら $e=0.9000$ 一定（観察 5.3）：対照実験。
10. 向きは合っている（観察 4.6）：誤っているのは $1$ を超える部分だけ。

結び：反発係数は材料の表に定数として載っている。鋼球は $0.9$、テニスボールは $0.7$、と密度や弾性率と同じ書式で並んでいる。だが $e$ は測定条件を含んでいる。速度依存を $e(v)=e_0(v/v_0)^{-1/4}$ と置くと、$1$ m/s で $0.9000$、$10$ m/s で $0.5061$ と一定の向きで減り、速度を $100$ 倍にすると $e$ は $\mathbf{0.31622777}$ 倍になる。跳ね返る高さの比 $e^2$ で見ればもっと大きく、$0.810000$ から $0.081000$ へちょうど十分の一になる。同じ球が、二つの高さで二つの値をもつ、真空を仮定して落下高さから速度を出すと、1 m では $e=\mathbf{0.6204}$、100 m では $e=\mathbf{0.3489}$（比 $0.5623$）。材料は一つも変わっていないのに、値は $44$ パーセント近く落ちる。密度はどの高さから落としても変わらない。条件を省略できるかどうかが、二つの量の性格を分けている。そしてこの経験則は、自分が破れる速度を自分で指す。頭打ちを入れずに低速へ延ばすと、$\mathbf{0.656100}$ m/s より遅い衝突で $e>1$ を予言する。$v=0.1$ m/s では $e=1.600451$ となり、跳ね返る高さは落とした高さの $2.561445$ 倍になる。衝突でエネルギーが増えることはないから、これは「まだ測っていない領域」ではなく模型が誤っている領域である。境目の両側で $1.002516$ と $0.997516$ となり、$1$ をまたぐ。ただし向きは合っている。遅い衝突ほど弾性的になるのは正しく、誤っているのは $1$ を超える部分だけである。$0.6561$ m/s は「そこから先は別の式が要る」という印である。分けているものは一つ、速度の指数が $0$ か、$0$ でないか。指数を $0$ にすると二つのことが同時に消える。速度依存が消え、$e>1$ の破れも消える。この二つは同じ一つの指数から出ている。指数を $-1/8$ に緩めれば破れる速度は下がり、$-1/2$ に強めれば上がる。適用範囲の広さと速度依存の強さは、一つの数の裏表である。正直に言えば、$0.6561$ m/s も $0.3489$ も $e_0=0.90$・指数 $-1/4$ の上での値であり、別の材料なら別の数が出る。動かないのは、速度依存をもつ冪則は必ずどこかで $e=1$ を横切るという構造だけである。最後に一つ、経験則を外挿したときに物理的に不可能な値が出たら、それは失敗ではなく情報である。$e>1$ は、この式がどこまで有効かを教えている。不可能な予言が出る点を探すことは、適用範囲を測る一つの方法である。

参考文献

1. Goldsmith, W. (1960). Impact: The Theory and Physical Behaviour of Colliding Solids. London: Edward Arnold.
2. Johnson, K. L. (1985). Contact Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press.
3. Tabor, D. (1948). A simple theory of static and dynamic hardness. Proceedings of the Royal Society A.
4. Stronge, W. J. (2000). Impact Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press.
5. Cross, R. (1999). The bounce of a ball. American Journal of Physics.
6. 山岸勇輝 (2026). 『第三百回の点呼、同根か別根かは判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
7. 山岸勇輝 (2026). 『ガラス転移温度は、測る速さで動く』[論文352]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22695723
8. 山岸勇輝 (2026). 『雑音を足すと検出が良くなる場合がある。ただし「多いほどよい」ではない』[論文353]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22696835
9. 山岸勇輝 (2026). 『長さは、曲線を測る量ではなくなることがある』[論文354]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22696977

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「反発係数は材料の定数ではない」［論文355］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22697011

@misc{yamagishi2026yoi355,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Coefficient of Restitution Is Not a Material Constant --- And the Empirical Law Points at Its Own Breaking Speed},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/355},
  doi = {10.5281/zenodo.22697011},
  note = {Preprint, edition 1}
}