Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

点質量による光の偏向角は $\alpha=4GM/(c^2b)$ である。本稿はこの $4$ の内訳を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、$4$ は $4\pi$ ではない。$2\times2$ である。第一の $2$ は積分の値である。本稿では横向きの力を直線に沿って積分し、$\int_{-\infty}^{\infty}GMb/(b^2+z^2)^{3/2}dz=2GM/b$ を記号計算で得た。円周率はどこにも現れない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯の一つ。第二の $2$ は測られている量である。パラメータ化ポスト・ニュートン形式では $\alpha=(1+\gamma)\,2GM/(c^2b)$ であり、一般相対論は $\gamma=1$ を予言する。だが $\gamma$ は理論によって動く。ブランス＝ディッケでは $\gamma=(1+\omega)/(2+\omega)$ であり、本稿の表では $\omega=1$ で「$4$」が $3.333$、$\omega=100$ で $3.980$ になる。$4$ は数学的必然ではない。前半は等価原理から、後半は計量についての経験的言明である（第3節）。

第三に、シュヴァルツシルト計量の厳密な偏向積分がそれを裏づける。本稿では端点特異性を変数変換で外して求積し、$b/m=10^4$ で比 $1.00029464$、既知の二次項 $1+15\pi m/(16b)=1.00029452$ と7桁一致を得た（第2節）。

第四に、これが本稿の芯のもう一つ。二倍は重力の性質ではなく $v=c$ の性質である。速さ $v$ の粒子の偏向はニュートン値の $1+v^2/c^2$ 倍である。本稿の表では $v/c=1$ で $2.000$、$0.5$ で $1.250$、$0.1$ で $1.010$、$0.01$ で $1.0001$。「光は二倍落ちる」という絵は正しくない。$2$ になるのは光子が $v=c$ だからである（第4節）。

第五に、では $4\pi$ はどこにあるか。臨界面密度である。$\Sigma_{\rm cr}=c^2D_s/(4\pi G D_lD_{ls})$、この $4\pi$ はポアソン方程式から来ており（論文35 の事実の側）、曲がり角ではなく質量を復元する段に住んでいる。論文130 と同じ形である（第5節）。

第六に、アインシュタイン環の中身は「平均収束度がちょうど $1$」である。本稿で記号計算により確認した。$\theta_E$ の指数 $1/2$ は二次方程式を解いた跡であって、球面の幾何ではない（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。アインシュタイン（1915・1936）、ツビッキー（1937）、PPN形式（ウィル）、ブランス＝ディッケ（1961）、カッシーニによる $\gamma$ の測定（ベルトッティら 2003）はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、$4$ を $2\times2$ に割り、後半が測定量であることを明示したこと、二倍が $v=c$ の性質であることを表で示したこと、$4\pi$ の住所を臨界面密度に置いたこと、環の中身が平均収束度 $1$ であることを書いたことだけである。$4$ に立体角を読み込まない（論文45・101）。

1. 記法と位置づけ

質量 $M$、衝突径数 $b$、$m\equiv GM/c^2$ と書く。弱い場での光の偏向角は
$$ \alpha=\frac{4GM}{c^2b}=\frac{4m}{b} \tag{1} $$
である。

位置づけ：既存の結果を並べ、その内訳を書く。新しい定理は主張しない。論文17 は別根と言うのは半分であり、住所を書いて初めて検査可能になると述べた。本稿は (1) の $4$ について、それを行う。

そして体系にとっての要点はこれである。体系は $4\pi$ を土台に持つ（論文01・02）。ゆえに $4$ を見たときに $4\pi$ の親戚だと読みたくなる。本稿はその誘惑を止める。

2. 第一の $2$ は、積分の値である

検算 2.1（ニュートン的な力積積分）：直線軌道に沿って横向きの重力を積分すると、本稿の記号計算では
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{GMb}{(b^2+z^2)^{3/2}}\,dz=\frac{2GM}{b} $$
となり、これを $c^2$ で割って $\alpha_{\rm N}=2GM/(c^2b)$ を得る。（証明終）

観察 2.2 （円周率は現れない）　この $2$ は積分の値であって、立体角でも周期でもない。$\pi$ はどこにも出てこない。

検算 2.3（厳密な偏向積分）：シュヴァルツシルト計量における厳密な偏向は
$$ \alpha=2\int_0^{u_{\max}}\frac{du}{\sqrt{b^{-2}-u^2+2mu^3}}-\pi $$
である（$u=1/r$）。本稿では端点の逆平方根特異性を $u=u_{\max}-t^2$ の変数変換で外し、単純根を割り出してから求積した。結果は次のとおりである。

$b/m=10^4$ での超過 $1.00029464$ は、既知の二次項 $1+15\pi m/(16b)=1.00029452$ と7桁一致する。弱い場での一般相対論の値は、ニュートン値のちょうど二倍である。（証明終）

3. 第二の $2$ は、測られている

確立された事実 3.1（PPN形式）：計量理論一般において、光の偏向は
$$ \alpha=(1+\gamma)\,\frac{2GM}{c^2b} \tag{4} $$
と書ける。$\gamma$ は単位質量あたりどれだけ空間曲率が生じるかを表すパラメータであり、一般相対論は $\gamma=1$ を予言する。

観察 3.2 （内訳）　(4) は $4$ を二つに割る。

検算 3.3（$\gamma$ は理論によって動く）：ブランス＝ディッケ理論では $\gamma=(1+\omega)/(2+\omega)$ である。本稿の計算では

「$4$」は動く。（証明終）

観察 3.4 （ゆえに $4$ は測定値である）　カッシーニ探査機による電波遅延の測定は $\gamma-1$ を $10^{-5}$ の水準で $0$ と一致させている（ベルトッティら 2003）。すなわち「$4$」は、桁で言えば五桁まで測られた量である。数学的必然ではない。

これは論文95 の仕分けの実例である。等価原理から来る半分は理論の内側、空間曲率から来る半分は測定が支える。同じ式の中で、二つの半分の身分が違う。

4. 二倍は、$v=c$ の性質である

確立された事実 4.1：速さ $v$ の粒子の弱い場での偏向は、標準的に
$$ \alpha(v)=\frac{2GM}{bv^2}\left(1+\frac{v^2}{c^2}\right) $$
と書ける。ニュートン値との比は $1+v^2/c^2$ である。

検算 4.2

（証明終）

観察 4.3 （絵の訂正）　「光は二倍落ちる」という言い方は正しくない。因子は $1+v^2/c^2$ であり、$2$ になるのは光子が $v=c$ だからである。遅い粒子は後半をほとんど感じない。

観察 4.4 （なぜそうなるか）　ニュートン的な半分は時間成分が担い、もう半分は空間成分が担う。遅い粒子は世界線がほぼ時間方向を向いているから、空間成分をほとんど掃かない。光は時間方向と空間方向を等しく掃く。$2$ は、そのことの帰結である。

そして体系の他の $2$ との分離が書ける（論文132 の表の続き）。

5. では $4\pi$ はどこにあるのか

観察 5.1 （偏向角には無い）　(1) にも (4) にも $\pi$ は現れない。$4$ は $2\times2$ であって $4\pi$ の親戚ではない。

観察 5.2 （臨界面密度にある）　レンズ方程式を書くときに現れる臨界面密度は
$$ \Sigma_{\rm cr}=\frac{c^2D_s}{4\pi G\,D_lD_{ls}} $$
である。この $4\pi$ はポアソン方程式から来ている。論文35 が事実の側に置いたものと同じである。

観察 5.3 （住所は復元の段である）　$4\pi$ が現れるのは、観測された歪みから質量分布を復元する段である。曲がり角そのものにはない。論文130 と同じ形である。そこでは $4\pi$ がヘルムホルツの定理ではなくビオ＝サヴァール、すなわち逆問題に住んでいた。レンズでも同じである（論文89・99）。

$4\pi$ を指差すなら、曲がり角ではなく、質量を読み戻す式を見るべきである。

6. 環の中身は、平均収束度が $1$ であることである

検算 6.1：アインシュタイン半径は $\theta_E^2=4GM D_{ls}/(c^2D_lD_s)$ で与えられる。この半径の内側での平均収束度（平均面密度を臨界面密度で割ったもの）を本稿で記号計算すると、ちょうど $1$ である。（証明終）

観察 6.2 （これが幾何的な中身である）　アインシュタイン環とは、投影された平均密度が臨界密度に一致する半径のことである。その一文が、環の存在条件そのものである。

観察 6.3 （指数 $1/2$ の出所）　$\theta_E$ に現れる平方根は、レンズ方程式が二次式であることの帰結である。球面の幾何から来たものではない。論文28 は指数は次元ではないと述べた。ここでも指数は、解いた方程式の次数を告げている。

7. 結論

1. $4$ は $4\pi$ ではなく $2\times2$ である（検算2.1）。第一の $2$ は積分の値であり、$\pi$ は現れない。
2. 厳密な偏向積分がそれを裏づける（検算2.3）。$b/m=10^4$ で比 $1.00029464$、既知の二次項 $1+15\pi m/(16b)=1.00029452$ と7桁一致。
3. 第二の $2$ は測られている（検算3.3）。$\alpha=(1+\gamma)2GM/(c^2b)$ で、ブランス＝ディッケでは「$4$」が $\omega=1$ のとき $3.333$ になる。カッシーニは $\gamma-1$ を $10^{-5}$ で $0$ と一致させている。$4$ は数学的必然ではなく測定値である。
4. 二倍は $v=c$ の性質である（検算4.2）。比は $1+v^2/c^2$ で、$v/c=0.1$ なら $1.010$ にすぎない。「光は二倍落ちる」は正しくない。
5. $4\pi$ は臨界面密度にある（観察5.2）。ポアソン方程式から来ており、質量を復元する段に住んでいる（論文35・130）。
6. 環の中身は平均収束度 $1$ である（検算6.1）。$\theta_E$ の指数 $1/2$ は二次方程式を解いた跡である（論文28）。

結び：$4$ を見て $4\pi$ を思い出してはならない。この $4$ は積分の $2$ と、測られた $1+\gamma$ の $2$ でできている。そして後者は、光が $v=c$ で走るからこそ丸ごと効いている。数の内訳を書くまでは、その数が何を語っているか分からない。

参考文献

1. Einstein, A. (1915). Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften.
2. Einstein, A. (1936). Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational field. Science, 84.
3. Zwicky, F. (1937). Nebulae as gravitational lenses. Physical Review, 51.
4. Brans, C. & Dicke, R. H. (1961). Mach’s principle and a relativistic theory of gravitation. Physical Review, 124.
5. Bertotti, B., Iess, L. & Tortora, P. (2003). A test of general relativity using radio links with the Cassini spacecraft. Nature, 425.
6. Will, C. M. (2014). The confrontation between general relativity and experiment. Living Reviews in Relativity, 17.
7. Schneider, P., Ehlers, J. & Falco, E. E. (1992). Gravitational Lenses. Springer.
8. Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. Freeman.
9. 山岸勇輝 (2026). 山岸唯一性定理（$n=2$） [論文01]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21403186
10. 山岸勇輝 (2026). $4\pi$ の起源 [論文02]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21403931
11. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
12. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
13. 山岸勇輝 (2026). $4\pi G$ の中の二つの $4\pi$ [論文35] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21430118
14. 山岸勇輝 (2026). ゼロテンションと逆問題 [論文89]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21748664
15. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
16. 山岸勇輝 (2026). カルデロンの逆問題 [論文99]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758790
17. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
18. 山岸勇輝 (2026). エディントン、先祖であり戒めである [論文101]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836382
19. 山岸勇輝 (2026). ミンコフスキーの不変間隔 [論文108]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837313
20. 山岸勇輝 (2026). 光は共形構造までしか決めない [論文111]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21961685
21. 山岸勇輝 (2026). 尺度不変性は四つの根を持つ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
22. 山岸勇輝 (2026). 渦線が終われないのは、法則ではなく恒等式である [論文130]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079996
23. 山岸勇輝 (2026). 伊藤の $2$ は、次元ではない [論文132]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080358
24. 山岸勇輝 (2026). フィッシャー計量が一意なのは、古典の側だけである [論文133]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080550

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「光の曲がりの 4 は、4π ではなく 2(1+γ) である」［論文134］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22080727

@misc{yamagishi2026yoi134,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 4 in the Light-Bending Angle Is Not 4π but 2(1+γ)},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/134},
  doi = {10.5281/zenodo.22080727},
  note = {Preprint, edition 1}
}