Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文137 は KL ダイバージェンスが距離でないことを書いた。本稿はその対になるワッサースタイン距離を置き、二つが競合しないこと（別の問いに答えていること）を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、ワッサースタインは距離である。標本三つ組を $3000$ 通り取り、非対称は $0$ 件、三角不等式の破れも $0$ 件であった。論文137 の KL は同じ試験で $25.4\%$ 破れていた（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。分ける実例は「台が交わらないとき」である。距離 $d$ だけ離れた二つの点質量について、KL はどの $d$ でも無限大であり、$W_2$ はちょうど $d$ である（$d=0.5,1,5,100$ で確認）。重なりがあるうちは両方が離れ具合を見る。等分散の正規分布なら KL は $d^2/2$、$W_2$ は $d$（$d=5$ で $12.500000$ 対 $5$、閉じた形と厳密一致）。「二つの分布はどれだけ違うか」は二つの問いである。重なっているか、そしてどれだけ離れているか（第3節）。

第三に、ワッサースタインが優れているのではない。前提が多いのである。ワッサースタインは台の上の距離を要求する。順序のない三つのカテゴリに対して KL は $0.223805$ と定まるが、ワッサースタインは「赤と緑がどれだけ離れているか」を誰かが決めるまで形にならない（第4節）。

第四に、熱方程式が二度書ける。点から出発した熱核について $W_2=\sqrt{2t}$ である（$t=0.25,1,4$ で確認）。$[t]=L^2$ という論文119 の放物型の尺度がそのまま出る。そしてオットーの定理により、熱方程式はこの計量におけるエントロピーの勾配流である。同じ方程式が、二通りに書ける（第5節）。

第五に、収束率が $d=3$ で性格を変える。同一分布からの二標本間の $W_1$（真値 $0$）を測ると、標本を $4$ 倍したときの改善は $d=1$ で $2.18$ 倍、$d=3$ で $1.59$ 倍、$d=8$ で $1.22$ 倍である。率は $d\le2$ で $n^{-1/2}$、$d\ge3$ で $n^{-1/d}$、中心極限の率と被覆の率が $d=3$ で入れ替わる（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。モンジュ、カントロヴィチ、オットーの勾配流、フルニエ＝ギヤンの収束率はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、距離としての性質を KL と並べて数えたこと、台が交わらない場合を分離子として書いたこと、前提の非対称（地の距離が要るかどうか）を書いたこと、収束率の二つの領域を数値で確かめたことだけである。ワッサースタインが KL より優れているとは言わない。

数値について：$d=1$ の輸送費用は整列による厳密計算である。$d\ge2$ は対数領域シンクホーン法（エントロピー正則化）によった。実装は一次元の厳密解と突き合わせて検証した（相対誤差 $0.1$〜$1.1\%$）。スライス版は用いていない。それは一次元射影の平均であって収束率が次元に依らず、本稿が調べている効果を隠してしまうからである。

1. 記法と位置づけ

二つの確率測度 $\mu,\nu$ について、$p$-ワッサースタイン距離を
$$ W_p(\mu,\nu)=\Bigl(\inf_{\gamma}\int \|x-y\|^p\,d\gamma(x,y)\Bigr)^{1/p} \tag{1} $$
と書く（$\gamma$ は周辺分布が $\mu,\nu$ である結合）。

位置づけ：既存の定理を並べ、その射程を書く。新しい定理は主張しない。論文137 の続きであり、対である。

2. ワッサースタインは距離である

検算 2.1：直線上の正規分布から取った標本三つ組を $3000$ 通り作り、$W_1$ について対称性と三角不等式を調べた。

（証明終）

観察 2.2　ワッサースタインは距離の公理を満たす。ゆえに「どちらがどれだけ遠いか」の一貫した順序を与える。論文137 で KL が与えられなかったものである。

3. 分ける実例は、台が交わらないとき

検算 3.1（重なりがある場合）：等分散の正規分布を $d$ だけずらすと、本稿の数値計算では

閉じた形と厳密に一致する。重なりがあるうちは、どちらも離れ具合を見ている（KL は $d^2$ で、$W_2$ は $d$ で）。（証明終）

検算 3.2（重なりが無い場合）：距離 $d$ だけ離れた二つの点質量について

KL はどの $d$ でも同じ値（無限大）を返し、$d$ を区別しない。$W_2$ は $d$ をそのまま返す。（証明終）

観察 3.3 （これが芯である）　「二つの分布はどれだけ違うか」という問いは、実は二つの問いである。

一語「隔たり」が、この二つを一緒にしている（論文17）。

4. ただし、前提が違う

観察 4.1　(1) には $\|x-y\|$ が現れる。ワッサースタインは台の上の距離を要求する。KL の定義 $\sum p\log(p/q)$ にはそのようなものが現れない。

検算 4.2：順序のない三つのカテゴリ上の分布 $p=(0.5,0.3,0.2)$、$q=(0.2,0.5,0.3)$ について、本稿では $D(p\|q)=0.223805$ を得た。一方ワッサースタインは、赤と緑がどれだけ離れているかを誰かが決めるまで形にならない。（証明終）

観察 4.3 （優劣ではない）　ワッサースタインは単純に「より良い」対象ではない。要求する入力が多く、その入力が存在しない場では作れない。二つの道具、二つの前提である（論文95）。

5. 熱方程式は、二度書ける

検算 5.1：点から出発した熱核は $\rho(\cdot,t)=N(0,2t)$ だから $W_2(\delta_0,\rho_t)=\sqrt{2t}$ である。本稿では $t=0.25,1,4$ について $0.708606$、$1.414860$、$2.829112$ を得た（理論値 $0.707107$、$1.414214$、$2.828427$）。（証明終）

観察 5.2 （尺度）　$W_2\propto\sqrt{t}$ は $[t]=L^2$ である。論文119 が第四の時計について書いた放物型の尺度がそのまま出る。

観察 5.3 （オットーの定理）　熱方程式は、ワッサースタイン計量におけるエントロピーの勾配流である（オットー 2001、ジョーダン＝キンダーレーラー＝オットー 1998）。同じ方程式が二通りに書ける。偏微分方程式として、そして最急降下として。後者の読みは、この計量を用意して初めて意味を持つ。

そして体系の中に同じ形がある。論文110 はリッチ・フローが繰り込み群の流れであることを書いた。「同じ方程式の二つの記述」は、そこでも起きていた。ただし住所は別である（あちらは弦の世界面、こちらは確率測度の空間）。

6. 収束率は、$d=3$ で性格を変える

検算 6.1：同一の標準正規分布から取った二つの標本のあいだの $W_1$、真の値は $0$ だから、測っているのは推定誤差だけである。

予測は $4^{\min(1/2,\,1/d)}$ である。（証明終）

観察 6.2 （二つの領域）　率は $d\le2$ で $n^{-1/2}$、$d\ge3$ で $n^{-1/d}$ である。すなわち「次元の呪い」は $d^{-1}$ が $1/2$ を下回る $d=3$ から始まる。中心極限の率と被覆の率が、そこで入れ替わる。

観察 6.3 （これは次元が選ぶ側である）　論文114 は次元を選ぶ事実と選ばない事実を分けた。ここでの $d=3$ は、選ぶ側の閾値である。ただし選んでいるのは幾何ではなく、二つの率のどちらが勝つかである。論文133 のジェームズ＝スタインの $d\ge3$ とは、閾値が同じ数でも根が違う（あちらは許容性、こちらは被覆数）。

観察 6.4 （厳密性と可測性）　距離の公理を満たすことは、推定しやすいことを意味しない。論文136 で見た形がここでも現れる。正しいことと、測れることは別である。

7. 結論

1. ワッサースタインは距離である（検算2.1）。$3000$ 組で非対称 $0$ 件、三角不等式の破れ $0$ 件。論文137 の KL は $25.4\%$ 破れていた。
2. 分ける実例は台が交わらないとき（検算3.2）。KL は $d=0.5$ でも $100$ でも無限大、$W_2$ は $d$ をそのまま返す。
3. 「どれだけ違うか」は二つの問いである（観察3.3）。重なっているかとどれだけ離れているか。
4. ただし前提が違う（検算4.2）。ワッサースタインは台の上の距離を要求し、KL は要求しない。優劣ではなく、前提の違いである。
5. 熱方程式は二度書ける（検算5.1・観察5.3）。$W_2=\sqrt{2t}$ すなわち $[t]=L^2$（論文119）、そしてオットーの定理により勾配流。
6. 収束率は $d=3$ で性格を変える（検算6.1）。$d\le2$ で $n^{-1/2}$、$d\ge3$ で $n^{-1/d}$。距離であることは、測りやすさを意味しない（論文136）。

結び：KL とワッサースタインは競合していない。片方は重なりを、もう片方は隔たりを測っている。台が交わらない場所で、その差がいちばんはっきり出る。片方は「無限に違う」としか言えず、もう片方は距離を答える。どちらを使うかは、こちらがどちらの問いを持っているかで決まる。

参考文献

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2. Jordan, R., Kinderlehrer, D. & Otto, F. (1998). The variational formulation of the Fokker-Planck equation. SIAM Journal on Mathematical Analysis, 29.
3. Otto, F. (2001). The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation. Communications in Partial Differential Equations, 26.
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7. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
8. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
9. 山岸勇輝 (2026). 二つのエントロピー [論文88]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21747809
10. 山岸勇輝 (2026). フラクタル次元 [論文94]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758581
11. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
12. 山岸勇輝 (2026). カルデロンの逆問題 [論文99]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758790
13. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
14. 山岸勇輝 (2026). ウィーナー・フィルタ [論文106]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836984
15. 山岸勇輝 (2026). リッチ・フローは繰り込み群の流れである [論文110]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837476
16. 山岸勇輝 (2026). 極限としてのモジュール [論文113]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21962996
17. 山岸勇輝 (2026). 尺度不変性は四つの根を持つ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
18. 山岸勇輝 (2026). 第四の時計 [論文119]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036353
19. 山岸勇輝 (2026). フィッシャー計量が一意なのは、古典の側だけである [論文133]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22080550
20. 山岸勇輝 (2026). 等式は厳密でも、平均は裾が握っている [論文136]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081230
21. 山岸勇輝 (2026). KL は距離ではない。だが、その二階微分は計量である [論文137]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081369
22. 山岸勇輝 (2026). どこまでがハミルトニアンかは、規約である [論文138]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081512

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「重なりを測るのか、隔たりを測るのか」［論文139］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22081801

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Measuring Overlap, or Measuring Displacement},
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