Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文139 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/139 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22081801）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文139】重なりを測るのか、隔たりを測るのか

@misc{yamagishi2026yoi139,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Measuring Overlap, or Measuring Displacement},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/139},
  doi = {10.5281/zenodo.22081801},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文137 は KL ダイバージェンスが距離でないことを書いた。本稿はその対になるワッサースタイン距離を置き、二つが競合しないこと（別の問いに答えていること）を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、ワッサースタインは距離である。標本三つ組を $3000$ 通り取り、非対称は $0$ 件、三角不等式の破れも $0$ 件であった。論文137 の KL は同じ試験で $25.4\%$ 破れていた（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。分ける実例は「台が交わらないとき」である。距離 $d$ だけ離れた二つの点質量について、KL はどの $d$ でも無限大であり、$W_2$ はちょうど $d$ である（$d=0.5,1,5,100$ で確認）。重なりがあるうちは両方が離れ具合を見る。等分散の正規分布なら KL は $d^2/2$、$W_2$ は $d$（$d=5$ で $12.500000$ 対 $5$、閉じた形と厳密一致）。「二つの分布はどれだけ違うか」は二つの問いである。重なっているか、そしてどれだけ離れているか（第3節）。

第三に、ワッサースタインが優れているのではない。前提が多いのである。ワッサースタインは台の上の距離を要求する。順序のない三つのカテゴリに対して KL は $0.223805$ と定まるが、ワッサースタインは「赤と緑がどれだけ離れているか」を誰かが決めるまで形にならない（第4節）。

第四に、熱方程式が二度書ける。点から出発した熱核について $W_2=\sqrt{2t}$ である（$t=0.25,1,4$ で確認）。$[t]=L^2$ という論文119 の放物型の尺度がそのまま出る。そしてオットーの定理により、熱方程式はこの計量におけるエントロピーの勾配流である。同じ方程式が、二通りに書ける（第5節）。

第五に、収束率が $d=3$ で性格を変える。同一分布からの二標本間の $W_1$（真値 $0$）を測ると、標本を $4$ 倍したときの改善は $d=1$ で $2.18$ 倍、$d=3$ で $1.59$ 倍、$d=8$ で $1.22$ 倍である。率は $d\le2$ で $n^{-1/2}$、$d\ge3$ で $n^{-1/d}$、中心極限の率と被覆の率が $d=3$ で入れ替わる（第6節）。

Abstract

Paper 137 wrote that the KL divergence is not a distance. This paper sets its counterpart, the Wasserstein distance, beside it, and writes that the two are not competitors but answer different questions. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the Wasserstein distance is a metric. Over $3000$ random triples of samples, asymmetries found: $0$; failures of the triangle inequality: $0$. The KL divergence of Paper 137 failed the same test $25.4\%$ of the time (Section 2).

Second, and this is the core. What separates them is disjoint supports. For two point masses a distance $d$ apart, KL is infinite for every $d$ while $W_2$ equals $d$ exactly (checked at $d=0.5,1,5,100$). While the supports overlap both see the separation: for Gaussians of equal width KL grows as $d^2/2$ and $W_2$ as $d$ ($12.500000$ against $5$ at $d=5$, agreeing exactly with the closed form). How different are two distributions is two questions: do they overlap, and how far apart are they (Section 3).

Third, Wasserstein is not the better object; it asks for more. It requires a metric on the underlying space. On three unordered categories KL is well defined at $0.223805$, while Wasserstein cannot be formed until someone says how far red is from green (Section 4).

Fourth, the heat equation can be written twice. For the heat kernel started from a point, $W_2=\sqrt{2t}$ (checked at $t=0.25,1,4$). This is $[t]=L^2$, the parabolic scaling of Paper 119. And by Otto’s theorem the heat equation is the gradient flow of entropy in this metric: one equation, two descriptions (Section 5).

Fifth, the rate of convergence changes character at $d=3$. Measuring $W_1$ between two samples of the same distribution (true value $0$), a fourfold sample improves the estimate by a factor $2.18$ at $d=1$, $1.59$ at $d=3$ and $1.22$ at $d=8$. The rate is $n^{-1/2}$ up to $d=2$ and $n^{-1/d}$ from $d=3$: the central-limit rate and the covering rate change places there (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/139/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/139 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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