YOI 1039：物質の無い膨張宇宙は、平らな時空を固有時で切り直しただけのものである

論文1039 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1039 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860855）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1039,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Matter-Free Expanding Universe Is Flat Spacetime Resliced by Proper Time},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1039},
  doi = {10.5281/zenodo.22860855},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

同じ一つの時空が、切り方を替えるだけで別の宇宙に見える。本稿は、平らなミンコフスキー時空を「原点からの固有時が等しい面」で切ると何が出るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。平らな時空の切り口が、負の曲率の膨張宇宙になる。固有時が等しい面は双曲面で、その上の距離は共動座標 χ に等しい。円周は 2π×距離の $\mathbf{1.175201193644}$ 倍（χ＝1）・$\mathbf{1.813430203924}$ 倍（χ＝2）、体積はユークリッドの球の $\mathbf{1.220145305885}$ 倍・$\mathbf{2.183429737231}$ 倍である。円周の伸びから曲率を取り出すと χ を小さくするにつれ $\mathbf{1.000000050766}$ に収束し、曲率は −1/(cτ)² である（第3節）。

第二に、中心が無い。双曲面はローレンツ変換で動かないので、どの粒子を原点に持ってきても同じ絵になる（速さ 0.6 でブーストしてもずれは 10 の −15 乗）。平らな面 t＝一定ならブーストで動く（第2節）。

第三に、ハッブルの法則が厳密に出る。密度は 0 なのに、固有距離の変化率はどの粒子でも H×固有距離にぴったり等しく、H·τ はちょうど 1 である（塵の宇宙なら $\mathbf{0.666666666667}$）。遠くでは後退速度が光速を超える（χ＝1.5 で $\mathbf{1.500000000000}$）が、粒子そのものの速さは $\mathbf{0.905148253645}$ にしかならない（第4節）。

第四に、赤方偏移は、三つの顔を持つ同じ一つの数である。目盛りの比 τ0/τe であり、相対論のドップラー因子であり、exp(χ) でもある。β＝0.5 で三つとも $\mathbf{1.732050807569}$、β＝0.9 で $\mathbf{4.358898943541}$ である（第5節）。

第五に、光度距離は三つの道で一致する。膨張宇宙の式 (1+z)sinh χ、閉じた式 z+z²/2、そして特殊相対論の道（放った場所までの距離にドップラー因子の二乗を掛ける）が、β＝0.9 でいずれも $\mathbf{9.000000000000}$ を返した（第6節）。

第六に、粒子の地平線が無く、その空間は速度空間と同じ形である。共形時間は遡るほど増え続け、固有時 10 の −30 乗まで戻ると $\mathbf{69.077552789821}$ になる（塵の宇宙では $\mathbf{3.000000000000}$ で止まる）。τ＝1 の面の曲率 −1 は、論文60・66 の速度空間の曲率 −1/c² と同じ数であり、一直線上の速度の合成はこの面の上の平行移動になる（第7節・第8節）。

キーワード：ミルン宇宙、双曲幾何、共動座標、ラピディティ、赤方偏移、宇宙の地平線

Abstract

One and the same spacetime looks like a different universe once it is cut a different way.This paper counts what comes out when flat Minkowski spacetime is cut by the surface on which proper time from the origin is equal.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. A slice of flat spacetime is an expanding universe of negative curvature、the surface of equal proper time is a hyperboloid, and distance along it equals the comoving coordinate χ. The circumference is $\mathbf{1.175201193644}$ times 2π times the distance at χ＝1 and $\mathbf{1.813430203924}$ at χ＝2; the volume is $\mathbf{1.220145305885}$ and $\mathbf{2.183429737231}$ times the Euclidean ball. Extracting the curvature from the excess circumference converges to $\mathbf{1.000000050766}$ as χ shrinks, so the curvature is −1/(cτ)²(Section 3).

Second, there is no centre、the hyperboloid is unmoved by a Lorentz transformation, so bringing any particle to the origin gives the same picture (boosting at 0.6 leaves a residue of 10 to the minus 15). A flat surface of constant t does move under a boost(Section 2).

Third, Hubble’s law comes out exactly、the density is zero, yet the rate of change of proper distance equals H times proper distance for every particle, and Hτ is exactly 1 (for a dust universe it would be $\mathbf{0.666666666667}$). Far away the recession speed exceeds the speed of light (at χ＝1.5 it is $\mathbf{1.500000000000}$) while the particle’s own speed reaches only $\mathbf{0.905148253645}$(Section 4).

Fourth, the redshift is one number with three faces、the ratio of scales τ0/τe, the relativistic Doppler factor, and exp(χ). At β＝0.5 all three are $\mathbf{1.732050807569}$ and at β＝0.9 all three are $\mathbf{4.358898943541}$(Section 5).

Fifth, the luminosity distance agrees along three routes、the cosmological expression (1+z)sinh χ, the closed form z+z²/2, and the special-relativistic route (distance to the point of emission times the square of the Doppler factor) all return $\mathbf{9.000000000000}$ at β＝0.9(Section 6).

Sixth, there is no particle horizon, and the space is the same shape as velocity space、conformal time keeps growing as one goes back, reaching $\mathbf{69.077552789821}$ at proper time 10 to the minus 30, whereas in a dust universe it stops at $\mathbf{3.000000000000}$. The curvature −1 of the τ＝1 surface is the same number as the −1/c² of velocity space in Paper 60 and Paper 66, and composing collinear velocities is a translation on that surface(Section 7 and Section 8).

Keywords: Milne universe, hyperbolic geometry, comoving coordinate, rapidity, redshift, cosmological horizon

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1039/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1039 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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