Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1073 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1073 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1073】面積と流束を保つ写像の不動点は、関数の臨界点と同じ床を持つ

@misc{yamagishi2026yoi1073,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Fixed Points of Maps Keeping Area and Flux Have the Same Floor as Critical Points of Functions},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1073},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969375・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 10:33（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ドーナツの表面（トーラス）を自分自身に写す写像は、恒等写像に連続につながっていれば、レフシェッツ数が 0 になる。その 0 は、不動点が全部の点でも一つも無くても同じで、不動点の数について何も言わない（論文161）。一方、トーラスの上の関数の臨界点には床があり、少なくとも 4 つある（論文203）。アーノルド（1965）は、面積を保ち、平均のずれ（流束）が 0 の写像は、関数と同じ床を持つと予想した。トーラスではコンリーとツェンダー（1983）が示した。本稿はそれを数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。面積と流束を保つ写像は、不動点がいつも四つ以上ある。四方向のずらしを重ねた写像 60 個で、不動点の数は 4 から 26 まで動き（平均 $\mathbf{13.833}$）、退化していないものが 4 を割ることは一度も無かった。指数の和はいつも 0 で、数はいつも偶数である。

第二に、振れ幅が小さいと、写像の不動点は関数の臨界点に重なる。ずらしを生む関数の臨界点の数と写像の不動点の数は、八つの関数すべてで等しく、隔たりは振れ幅を半分にするたびに半分に近づく（最後の比は $\mathbf{1.912}$ から $\mathbf{2.004}$）。

第三に、流束を足すと床が消える。面積を保ったまま平均のずれを足していくと、不動点は 6 から 4、2 と減り、ずれ 0.30 で 0 になる。指数の和は 0 のままである。

第四に、面積を外しても床が消える。平均のずれは 0 のまま、向きが回る押しを足して面積を保たなくすると、押し 0.10 で不動点が一つも無い写像が現れる。そのとき面の伸び縮みの倍率は $\mathbf{0.372}$ から $\mathbf{1.628}$ で、面を折り返してはいない。

正直に書くと、見込みが二つ外れた。隔たりの比が 2 に寄るのが遅い関数が一つあり、その理由を臨界点が退化に近いからと見込んだが、当たらなかった。理由は測っていない。

キーワード：不動点、レフシェッツ数、アーノルド予想、面積を保つ写像、流束、臨界点、トーラス、分離子

Abstract

A map of the surface of a doughnut (the torus) to itself that is continuously connected to the identity has Lefschetz number 0.That 0 is the same whether every point is fixed or none is, and it says nothing about the number of fixed points (Paper 161).The critical points of a function on the torus, by contrast, have a floor: there are at least 4 (Paper 203).Arnold (1965) conjectured that a map keeping area and having zero average shift (flux) has the same floor as a function; on the torus Conley and Zehnder (1983) proved it.This paper checks it numerically.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core of the paper: a map keeping area and flux always has at least four fixed points. Over 60 maps built from shears in four directions, the number of fixed points moved from 4 to 26 (mean $\mathbf{13.833}$), and the non-degenerate ones never fell below 4. The index sum was always 0, and the number was always even.

Second, for small amplitude the fixed points of the map sit on the critical points of a function. The number of critical points of the function generating the shears equalled the number of fixed points for all eight functions, and the distance halves as the amplitude is halved (the last ratios lie between $\mathbf{1.912}$ and $\mathbf{2.004}$).

Third, adding flux removes the floor. Adding an average shift while keeping area, the fixed points fall from 6 to 4 and 2, and at a shift of 0.30 to none. The index sum stays 0.

Fourth, dropping area removes the floor too. Keeping the average shift at 0 but adding a push whose direction turns, so that area is no longer kept, a map with no fixed point at all appears at push 0.10. The factor of stretching then lies between $\mathbf{0.372}$ and $\mathbf{1.628}$, so the surface is not folded.

Stated plainly, two expectations failed. One function’s ratio approached 2 slowly; I expected the reason to be that its critical points were close to degenerate, but that was not the case. The reason has not been measured.

Keywords: fixed point, Lefschetz number, Arnold conjecture, area-preserving map, flux, critical point, torus, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1073/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1073 はいつも最新の版を指します）。

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