Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1076 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1076 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1076】凸の閉曲線の頂点が 4 つ以上あるのは、閉じる条件が曲率半径の一次の揺れを消すからである

@misc{yamagishi2026yoi1076,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Convex Closed Curve Has at Least Four Vertices Because Closing Removes the First Harmonic of Its Radius of Curvature},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1076},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969378・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:04（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

卵のような形でも、腎臓のような形でも、自分と交わらない閉じた曲線には、曲がり方が最も強い所と最も弱い所（頂点）が少なくとも 4 つある。これが四頂点定理である（ムカパディヤ 1909 が凸の曲線で示した）。なぜ 2 つでも 3 つでもなく 4 なのか。本稿は、凸の曲線について、閉じるという条件が曲がり方の関数から何を消すかを数で確かめ、4 がそこから来ることを示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、頂点は 4 つ以上ある。半径を揺らしたでたらめな閉曲線を、凸のもの 1000 本、凸でないが自分と交わらないもの 1000 本作ると、頂点はどれも 4 以上の偶数だった。自分と交わるリマソンだけが 2 つで足りた。

第二に、これが本稿の芯である。閉じる条件は、曲率半径の一次の揺れをちょうど消す。曲率半径を接線の向きの関数として見ると、その一次の成分は曲線が閉じるずれそのものなので、閉じた曲線では 0 になる（300 本で最大 2.8×10 のマイナス 16 乗）。残る最も低い揺れは二次なので、曲率半径と平均の差の符号は 4 回以上入れ替わり、頂点は 4 つ以上になる。

第三に、一次の揺れが残ると 2 で足りる。一次の揺れを持つ弧は、一周まわしても端が $\mathbf{0.942477796}$ ずれて閉じない。二周してから閉じるリマソンは、閉じる条件が一次の揺れしか消さず、半分の振動数の揺れが残って頂点は 2 つである。

第四に、下限は、残っている最も低い揺れの 2 倍である。曲率半径が k 次の揺れだけを持つ曲線は頂点がちょうど 2k、k 次から上だけを持つ曲線は頂点が 2k 以上だった（k が 2 から 6）。

第五に、球面でも同じ形の数がある。球面を等しい面積に分ける曲線 1000 本では、変曲点（測地的曲率が 0 になる点）はどれも 4 以上だった（アーノルドが名付けたテニスボールの定理）。二等分の条件は、ガウス＝ボネの定理で測地的曲率の総和を 0 にする。同じ曲線を北へずらして二等分をやめると、変曲点が 0 のものが出た。

正直に書くと、仕組みを数で示したのは凸の曲線だけである。凸でない曲線は 4 以上を確かめただけで、球面の側で 2 ではなく 4 になる理由は、本稿の道具では出さない。測り方の誤りを二つ直した。

キーワード：四頂点定理、曲率、曲率半径、フーリエ級数、テニスボールの定理、測地的曲率、ガウス＝ボネの定理

Abstract

Whether it looks like an egg or a kidney, a closed curve that does not cross itself has at least four points where the bending is locally strongest or weakest (vertices).This is the four vertex theorem (shown for convex curves by Mukhopadhyaya in 1909).Why four, and not two or three?For convex curves, this paper checks by numbers what the condition of closing removes from the bending function and shows that four comes from there.It claims no new theorem and no new law.

First, there are at least four vertices. Random closed curves made by perturbing the radius, 1000 convex ones and 1000 non-convex ones that do not cross themselves, all had an even number of vertices, at least four. Only the self-crossing limaçon managed with two.

Second, and this is the core of the paper, closing removes exactly the first harmonic of the radius of curvature. Viewed as a function of the tangent direction, the first harmonic of the radius of curvature is the very gap by which the curve fails to close, so it vanishes for a closed curve (at most 2.8 times 10 to the minus 16 over 300 curves). The lowest remaining harmonic is the second, so the difference between the radius of curvature and its mean changes sign at least four times, and there are at least four vertices.

Third, when the first harmonic remains, two suffice. An arc with a first harmonic does not close after a full turn: its ends miss by $\mathbf{0.942477796}$. For the limaçon, which closes only after turning twice, closing removes only the first harmonic; a half-frequency component remains, and it has two vertices.

Fourth, the lower bound is twice the lowest remaining harmonic. A curve whose radius of curvature has only the harmonic of order k has exactly 2k vertices, and one with harmonics from order k upward has at least 2k (k from 2 to 6).

Fifth, the sphere has a number of the same kind. Over 1000 curves dividing the sphere into equal areas, every curve had at least four inflection points (points where the geodesic curvature is zero), as in the tennis ball theorem named by Arnold. By the Gauss-Bonnet theorem, bisecting makes the total geodesic curvature zero. Shifting the same curves north so that they no longer bisect produced curves with no inflection points at all.

To be candid, the mechanism is shown by numbers only for convex curves. Non-convex curves were only checked to have at least four, and why the sphere gives four rather than two is not derived with the tools of this paper. Two errors in the measurement were corrected.

Keywords: four vertex theorem, curvature, radius of curvature, Fourier series, tennis ball theorem, geodesic curvature, Gauss-Bonnet theorem

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1076/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1076 はいつも最新の版を指します）。

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