YOI 1093：ブラックホールのエントロピーは 3 次元では地平線の断面の円盤の面積と同じ数で、写真に写る影の円盤はその 27/4 倍である

論文1093 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1093 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1093】ブラックホールのエントロピーは 3 次元では地平線の断面の円盤の面積と同じ数で、写真に写る影の円盤はその 27/4 倍である

@misc{yamagishi2026yoi1093,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {In Three Dimensions the Entropy of a Black Hole Is the Same Number as the Area of the Horizon's Cross-Sectional Disk, and the Shadow Disk in the Photographs Is 27/4 Times Larger},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1093},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月23日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972716・972718・972728・972749 に記録されました（2026年10月23日 14:24（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ブラックホールのエントロピーは、ħ・c・ボルツマン定数・G を 1 とする単位で S＝A/4（A は地平線の面積）である。3 次元の空間では A＝4πr² だから、S は地平線の断面の円盤の面積 πr² と同じ数になる。本稿は、この一致がどこから来て、空間の次元と重力の定数の決め方でどう動くかを数で調べ、写真に写るブラックホールの影の円盤が別の円盤であることを示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、1/4 はアルキメデスの 4 を打ち消す。球面の面積は大円の円盤の 4 倍で、この比が 4 になるのは 3 次元だけである（論文1081・4 次元で 4.712388980、5 次元で 5.333333333）。d 次元のブラックホール（タンゲルリーニの解）で、エントロピーの係数が地平線の断面（一つ下の次元の球）と同じ数になるのは、d＝3 から 10 のうち 3 次元だけだった。質量・温度・エントロピーの三つの式は、第一法則を外れ 2.845e−11 以内で満たす。

第二に、これが本稿の芯である。円盤の読みは、重力の定数の決め方で動く。第一法則から、エントロピーは 2π と「質量を表面重力で割って足したもの」の積で、2π は温度の式の 2π である。残りの因子が、G の決め方で変わる。G をニュートンの力で決めると、球面の面積の因子が消えて、係数は 2π×(d−2)/(d−1) になる。断面と同じ数になるのは 3 次元（π）と 4 次元（4π/3、赤道で切った 3 次元の球の体積）の二つで、それも殻ごとに一致する（3 次元は円盤の輪、4 次元は球の殻）。5 次元では 4.712388980 と 4.934802201 に分かれる。二つだけになる理由は、π を持たない球が点と線分の二つしかないことにある。8πG を 1 と置くと（論文1092 の単位）、エントロピーはどの次元でも 2π×面積で、円盤は出てこない。

第三に、写真の影は別の円盤である。影の縁は光が回れる円の像で（論文1046）、3 次元では地平線の半径の $\mathbf{2.598076211}$ 倍にある。影の円盤の面積は地平線の断面の 27/4＝6.75 倍で、4 次元でちょうど 8 倍、5 次元で $\mathbf{9.425061169}$ 倍と、次元とともに大きくなる。G と質量を 1 とすると、エントロピーの円盤は 4π、影の円盤は 27π（論文1069）で、影は地平線の球面の面積 16π よりも大きい。

正直に書くと、エントロピーの中身（何を数えた数か）には入らない。情報が断面の円盤にあるとも、ホログラフィー原理が正しいとも言わない。円盤との一致は重力の定数の決め方に依るので、数が同じことを同じ根とは呼ばない（論文300）。写真の影はエントロピーを測っていない。分かったのは、3 次元のエントロピーの円盤が重力の定数の決め方の一つで現れる数の形で、写真の影とは別の円盤だということである。

キーワード：ブラックホールのエントロピー、地平線、ブラックホールの影、光子球、アルキメデス、重力の定数、空間の次元

Abstract

In units with ħ, c, the Boltzmann constant and G set to 1, the entropy of a black hole is S = A/4, where A is the area of the horizon.In three-dimensional space A = 4πr², so S is the same number as πr², the area of the horizon’s cross-sectional disk.This paper examines with numbers where this match comes from and how it moves with the dimension of space and with the way the gravitational constant is fixed, and shows that the shadow disk of a black hole seen in the photographs is a different disk.No new theorem or law is claimed.

First, the 1/4 cancels Archimedes’ 4. The area of a sphere is 4 times the disk of its great circle, and this ratio is 4 only in three dimensions (Paper 1081: 4.712388980 in four dimensions, 5.333333333 in five). For the black hole in d dimensions (the Tangherlini solution), the coefficient of the entropy is the same number as the horizon’s cross-section (a ball of one dimension less) only in three dimensions, among d = 3 to 10. The three formulas for mass, temperature and entropy satisfy the first law to within 2.845e−11.

Second, and this is the core: the disk reading moves with the way the gravitational constant is fixed. From the first law, the entropy is 2π times “the mass added up after dividing by the surface gravity”, and the 2π is the 2π of the temperature formula. The remaining factor changes with the way G is fixed. When G is fixed by Newton’s force, the factor of the area of the sphere disappears and the coefficient becomes 2π×(d−2)/(d−1). It is the same number as the cross-section in only two dimensions, three (π) and four (4π/3, the volume of the three-dimensional ball cut at the equator), and the match holds shell by shell (a ring of the disk in three dimensions, a shell of the ball in four). In five dimensions the two separate into 4.712388980 and 4.934802201. There are only two because there are only two balls without π, the point and the segment. With 8πG set to 1 (the units of Paper 1092), the entropy is 2π times the area in every dimension and no disk appears.

Third, the shadow in the photographs is a different disk. The edge of the shadow is the image of the circle where light can orbit (Paper 1046), and in three dimensions it lies at $\mathbf{2.598076211}$ times the radius of the horizon. The area of the shadow disk is 27/4 = 6.75 times the horizon’s cross-section, exactly 8 times in four dimensions and $\mathbf{9.425061169}$ times in five, growing with the dimension. With G and the mass set to 1, the entropy disk is 4π and the shadow disk 27π (Paper 1069), so the shadow is larger even than the area 16π of the horizon sphere.

To be candid, the content of the entropy (what it counts) is not entered. No claim is made that information sits on the cross-sectional disk, or that the holographic principle is true. Because the match with the disk depends on the way the gravitational constant is fixed, the same number is not called the same root (Paper 300). The photographed shadow does not measure the entropy. What has been found is that the entropy disk of three dimensions is a form of number that appears under one way of fixing the gravitational constant, and that it is a different disk from the photographed shadow.

Keywords: black-hole entropy, horizon, black-hole shadow, photon sphere, Archimedes, gravitational constant, dimension of space

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1093/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1093 はいつも最新の版を指します）。

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