【論文1093】ブラックホールのエントロピーは 3 次元では地平線の断面の円盤の面積と同じ数で、写真に写る影の円盤はその 27/4 倍である

要旨

ブラックホールのエントロピーは、ħ・c・ボルツマン定数・G を 1 とする単位で S＝A/4（A は地平線の面積）である。3 次元の空間では A＝4πr² だから、S は地平線の断面の円盤の面積 πr² と同じ数になる。本稿は、この一致がどこから来て、空間の次元と重力の定数の決め方でどう動くかを数で調べ、写真に写るブラックホールの影の円盤が別の円盤であることを示す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、1/4 はアルキメデスの 4 を打ち消す。球面の面積は大円の円盤の 4 倍で、この比が 4 になるのは 3 次元だけである（論文1081・4 次元で 4.712388980、5 次元で 5.333333333）。d 次元のブラックホール（タンゲルリーニの解）で、エントロピーの係数が地平線の断面（一つ下の次元の球）と同じ数になるのは、d＝3 から 10 のうち 3 次元だけだった。質量・温度・エントロピーの三つの式は、第一法則を外れ 2.845e−11 以内で満たす。

第二に、これが本稿の芯である。円盤の読みは、重力の定数の決め方で動く。第一法則から、エントロピーは 2π と「質量を表面重力で割って足したもの」の積で、2π は温度の式の 2π である。残りの因子が、G の決め方で変わる。G をニュートンの力で決めると、球面の面積の因子が消えて、係数は 2π×(d−2)/(d−1) になる。断面と同じ数になるのは 3 次元（π）と 4 次元（4π/3、赤道で切った 3 次元の球の体積）の二つで、それも殻ごとに一致する（3 次元は円盤の輪、4 次元は球の殻）。5 次元では 4.712388980 と 4.934802201 に分かれる。二つだけになる理由は、π を持たない球が点と線分の二つしかないことにある。8πG を 1 と置くと（論文1092 の単位）、エントロピーはどの次元でも 2π×面積で、円盤は出てこない。

第三に、写真の影は別の円盤である。影の縁は光が回れる円の像で（論文1046）、3 次元では地平線の半径の $\mathbf{2.598076211}$ 倍にある。影の円盤の面積は地平線の断面の 27/4＝6.75 倍で、4 次元でちょうど 8 倍、5 次元で $\mathbf{9.425061169}$ 倍と、次元とともに大きくなる。G と質量を 1 とすると、エントロピーの円盤は 4π、影の円盤は 27π（論文1069）で、影は地平線の球面の面積 16π よりも大きい。

正直に書くと、エントロピーの中身（何を数えた数か）には入らない。情報が断面の円盤にあるとも、ホログラフィー原理が正しいとも言わない。円盤との一致は重力の定数の決め方に依るので、数が同じことを同じ根とは呼ばない（論文300）。写真の影はエントロピーを測っていない。分かったのは、3 次元のエントロピーの円盤が重力の定数の決め方の一つで現れる数の形で、写真の影とは別の円盤だということである。

キーワード：ブラックホールのエントロピー、地平線、ブラックホールの影、光子球、アルキメデス、重力の定数、空間の次元。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ブラックホールのエントロピーが地平線の面積の 4 分の 1 であること（Bekenstein 1973、Hawking 1975）、d 次元の空間のシュワルツシルトの解（Tangherlini 1963）とその質量・温度・エントロピーの書き方（Myers と Perry 1986）、光が回れる円と影の縁の衝突径数、球面の面積が大円の円盤の 4 倍であること（アルキメデス）は、いずれも既知である。8πG を 1 と置いてエントロピーが 2π と面積の積になることも、式の書き直しである。エントロピーの微視的な中身を扱わない。何を数えると 4 分の 1 になるかには入らない。情報が断面の円盤にあるとは言わない。円盤との一致は、重力の定数の決め方の一つで出る数の一致として扱う。ホログラフィー原理が正しいとは言わない。写真の影がエントロピーを測ったとは言わない。影は光が回れる円の像で、地平線の断面とは別の円盤である。自転と電荷を入れない。自転を入れた影は論文1069 が数えた。既刊との関係：論文73 は、4 分の 1 を、空間の立体角 4π と、温度のユークリッド時間の周期 2π と、表面重力の因子の複合として錨づけた。ここでは、同じ 4 分の 1 が 3 次元では球面を大円の円盤に直す数でもあり、それが重力の定数の決め方で動くことを数える。論文65 は、因果球のエントロピーを πc⁵ と書いた。その π も、この打ち消しのあとに残る π である。論文1081 は、球面の面積と大円の円盤の面積の比が次元ごとにどう動き、4 になるのが 3 次元だけであることを数えた。ここでは、その比をエントロピーの 4 分の 1 と並べる。論文1085 は、トレース反転の因子 (d−1)/(d−2) を数え、論文1092 は、ニュートンの G をブラックホールの解の加速度から測り、8πG を 1 と置く単位を使った。ここでは、同じ測り方で、エントロピーの係数を三つの決め方で書き分ける。論文1046 は、影の縁が地平線ではなく光が回れる円の像であることを示し、論文1069 は、影の面積が 27π で、自転を入れても円のままであることを数えた。ここでは、その影の円盤をエントロピーの円盤と比べ、次元を変えて比を数える。論文35 と論文60 は、4π を重力の定数や質量に置くことを単位の選び方として扱い、論文300 は、数が同じでも同じ根とは呼ばない基準を立てた。ここでの G＝1、ニュートンの G、8πG＝1 も、決め方として扱う。加えたのは、3 次元のエントロピーが地平線の断面の円盤と同じ数であることと、その出どころ（アルキメデスの 4）、ニュートンの G で 3 次元と 4 次元になり、それも殻ごとに一致することと、その理由（π を持たない二つの球）、8πG＝1 でどの次元でも 2π と面積の積になること、写真の影の円盤が断面の 27/4 倍で、次元とともに大きくなることである。

1. 問い

ブラックホールのエントロピーは、地平線の面積 $A$ の 4 分の 1 である（Bekenstein 1973、Hawking 1975）。プランクの長さ $\ell_P=\sqrt{\hbar G/c^{3}}$ を使って書くと

$$\frac{S}{k_B}=\frac{A}{4\ell_P^{2}}$$

である。3 次元の空間のシュワルツシルトのブラックホールでは $A=4\pi r_s^{2}$ だから

$$\frac{S}{k_B}=\frac{\pi r_s^{2}}{\ell_P^{2}}$$

になり、エントロピーは、地平線の断面の円盤（半径 $r_s$ の大円の円盤）の面積を、プランクの長さの二乗で測った数に等しい。論文73 は、4 分の 1 を、空間の立体角 $4\pi$ と、温度のユークリッド時間の周期 $2\pi$ と、表面重力の因子の複合として錨づけた。本稿は、同じ 4 分の 1 を、球面を大円の円盤に直す数として読み、その読みが空間の次元と重力の定数の決め方でどう動くかを数える。

円盤は、もう一つある。2019 年に Event Horizon Telescope が発表した M87 の中心の写真には、暗い円盤が写っている（Event Horizon Telescope Collaboration 2019）。論文1046 は、その縁が地平線ではなく、光が回れる円の像であることを示した。本稿は、二つの円盤を数で比べる。

2. 三つの式と、第一法則の 2π

以下、$\hbar=c=k_B=1$ とする。$d$ 次元の空間のブラックホールはタンゲルリーニの解（Tangherlini 1963）で、$f=1-\mu/r^{d-2}$、地平線の半径を $r$ として

$$M=\frac{(d-1)S_{d-1}}{16\pi G}\,r^{d-2},\qquad T=\frac{\kappa}{2\pi}=\frac{d-2}{4\pi r},\qquad S=\frac{S_{d-1}r^{d-1}}{4G}$$

である（作用の $G$ で書く・Myers と Perry 1986）。$\kappa=f'(r)/2=(d-2)/(2r)$ は表面重力、$S_{d-1}$ は半径 1 の球面の面積、$V_k$ は半径 1 の $k$ 次元の球の体積で、$V_d\times d=S_{d-1}$ である。三つが第一法則 $dM=T dS$ を満たすことを、$d=3$ から 10 と三つの半径で確かめた。外れの最大は $2.845\times10^{-11}$ だった。3 次元で $G=1$ なら $M=r/2$、$S=\pi r^{2}=4\pi M^{2}$ で、$M=1$ では $12.566370614$ である。

第一法則を $T=\kappa/(2\pi)$ で書き直すと

$$S=2\pi\int\frac{dM}{\kappa}$$

で、$2\pi$ は温度の式の $2\pi$ である。残りの因子（質量を表面重力で割って足したもの）は、重力の定数をどう決めるかで変わる。$d=3$ から 8、三つの決め方で数値の積分をして式と比べた（外れの最大は $3.234\times10^{-12}$）。

以下の三つの節で、一行ずつ見る。

3. 作用の G：同じ数になるのは 3 次元だけ

地平線の断面は、地平線を赤道で切った、一つ下の次元の球で、体積は $V_{d-1}r^{d-1}$ である。エントロピーの係数 $S\times G/r^{d-1}=S_{d-1}/4$ と並べた。

同じ数になるのは、$d=3$ から 10 のうち 3 次元だけだった。理由は、球面の面積と断面の比が 4 になるのが 3 次元だけであることにある。3 次元の 4 は、球面の面積が大円の円盤の 4 倍というアルキメデスの比で、論文1081 は、この比が 2 次元から 6 次元で $\pi$、4、$4.712388980$、$5.333333333$、$5.890486225$ と動くことを数えた。エントロピーの 4 分の 1 は、3 次元でだけ、このアルキメデスの 4 をちょうど打ち消す。論文65 の因果球のエントロピー $\pi c^{5}$ の $\pi$ も、この打ち消しのあとに残る $\pi$ である。

4. ニュートンの G：3 次元と 4 次元、それも殻ごとに

重力の定数は、ニュートンの力 $F=G_N Mm/r^{d-1}$ で決めることもできる。論文1092 と同じく、式を写さずに、解の重力の加速度 $\tfrac12 f'(r)$ から測った。$G_N/G$ は 3 次元で $1.000000000$、4 次元で $0.848826363$、5 次元で $0.716197244$ で、$8\pi(d-2)/((d-1)S_{d-1})$ と $1.5\times10^{-9}$ 以内で合った。この比は、論文1085 が数えたトレース反転の因子 $(d-1)/(d-2)$ から来ている。

ニュートンの $G_N$ で書くと、エントロピーは

$$S=\frac{2\pi(d-2)}{d-1}\,\frac{r^{d-1}}{G_N}$$

になり、球面の面積の因子 $S_{d-1}$ が消える。係数と断面を並べた。

同じ数になるのは、$d=3$ から 10 のうち 3 次元と 4 次元の二つだった。3 次元では $\pi$（大円の円盤）、4 次元では $4\pi/3$（地平線の 3 次元の球面を赤道で切った、3 次元の球の体積）である。

一致は全体だけでなく、殻ごとに起きる。質量を足すごとに増えるエントロピー $dS=2\pi dM/\kappa$ を、断面の球の一番外の殻 $S_{d-2}r^{d-2}dr$ と比べた（$r=1.7$）。$dS/dr$ を $r^{d-2}$ で割った数は $2\pi(d-2)$ で、3 次元から 8 次元で $6.283185307$、$12.566370614$、$18.849555922$、$25.132741229$、$31.415926536$、$37.699111843$、断面の殻は $6.283185307$、$12.566370614$、$19.739208802$、$26.318945070$、$31.006276680$、$33.073361792$ で、同じになるのは 3 次元と 4 次元だけだった。3 次元では $M=r/2$、$\kappa=1/(2r)$ だから $dM/\kappa=r dr$ で、エントロピーは $2\pi r dr$ ずつ増える。半径 $r$ の円盤に、幅 $dr$ の輪を足すときの面積の増え方そのものである。4 次元では $4\pi r^{2}dr$ ずつ増え、3 次元の球に殻を足すときの体積の増え方になる。

二つだけになる理由は、球の体積の漸化式 $V_{d-1}=2\pi V_{d-3}/(d-1)$ にある（$d=3$ から 10 で確かめた）。これを入れると、係数と断面の一致は

$$d-2=V_{d-3}$$

に変わる。$2\pi$ と $d-1$ は両側に共通で、残るのは、空間の次元から 2 を引いた数と、二つ下の次元の球の体積の比べ合いである。$V_k=k+1$ になるのは、$k=0$（点、$V_0=1$）と $k=1$（長さ 2 の線分、$V_1=2$）だけで、$k=2$ から先の球は $\pi$ を持つ（$V_2-3=0.141592654$）。$\pi$ を持たない球は点と線分の二つしかないので、一致も二つしかない。

3 次元では $G_N=G$ なので、作用の $G$ の読み（大円の円盤の $\pi$）と、ニュートンの $G$ の読み（温度の $2\pi$ に $(d-2)/(d-1)=1/2$ を掛けた $\pi$）は、同じ数を指す。

5. 8πG＝1：円盤は出てこない

$8\pi G$ を 1 と置く単位（論文1092 で使った単位）では、第一法則は

$$dM=\kappa\,dA$$

になる（$d=3$ から 10、三つの半径で外れの最大は $7.068\times10^{-11}$）。だからエントロピーは、どの次元でも

$$S=2\pi A$$

で（外れの最大は $2.220\times10^{-16}$）、3 次元の半径 1 では $8\pi^{2}=78.956835209$ である。残る $2\pi$ は温度の式の $2\pi$、論文73 がユークリッド時間の周期と呼んだ $2\pi$ で、円盤の $\pi$ はどこにも出てこない。円盤の読みは、作用の $G$ かニュートンの $G$ を 1 と置いたときに、3 次元（ニュートンの $G$ なら 4 次元も）でだけ現れる、数の形である。論文35 と論文60 が、$4\pi$ を重力の定数や質量に置くことを単位の選び方として扱ったのと同じく、どの決め方を取るかは選び方であり、本稿は三つを並べるだけで、どれかを正しいとは言わない。

6. 写真の影は、別の円盤である

光が回れる円は $f/r^{2}$ がいちばん大きくなる半径で、$r^{d-2}=(d/2) r_h^{d-2}$ にある。影の縁の衝突径数 $b$ は、$r/\sqrt{f}$ のいちばん小さい値である。どちらも数値で探して式と比べ、光が回れる円は小数 7 桁まで、影の縁は小数 9 桁まで合った。地平線の半径を 1 として並べる。

3 次元では、光が回れる円は地平線の 1.5 倍で、そこでの $f$ は $1/3$ だから、$b=1.5\times\sqrt3=2.598076211$ になる（論文1046 の $5.196152423$ は、質量を長さに直した値を 1 とする単位で、地平線の半径が 2）。影の円盤の面積は地平線の断面の $b^{2}=27/4=6.75$ 倍である。4 次元では光が回れる円が $\sqrt2$ 倍、そこでの $f$ が $1/2$ で、$b$ はちょうど 2、面積の比は $2^{3}=8$ になる。比は次元とともに大きくなる。

3 次元で $G$ と質量を 1 とすると、地平線の半径は 2 で、エントロピーの円盤の面積は $4\pi=12.566370614$、影の円盤は $27\pi=84.823001647$（論文1069 の影の面積）、地平線の球面の面積は $16\pi=50.265482457$ である。影の円盤は、エントロピーの円盤の $6.750000000$ 倍、地平線の球面の $1.687500000$ 倍で、地平線そのものの面積よりも大きい。

7. 二つの円盤

エントロピーの円盤は、地平線そのものを赤道で切った断面である。半径は地平線の半径で、その $\pi$ は、作用の $G$ で書けば大円の円盤の $\pi$、ニュートンの $G$ で書けば温度の $2\pi$ の半分で、$8\pi G$ を 1 と置けば消える。写真に写るのではなく、重力の定数の決め方の一つで現れる数の形である。

影の円盤は、光が回れる円の像である。半径は地平線の $2.598076211$ 倍で、27 は、光が回れる円の 1.5 の二乗と、そこでの $1/f=3$ の積を 4 倍したもの（$27/4=1.5^{2}\times3$）から来る。こちらは写真に写る。

二つは同じ $\pi R^{2}$ の形をしているが、半径が違い、$\pi$ の出どころも違う。論文300 の基準で、同じ根とは呼べない。写真の暗い円盤を「エントロピーの円盤」と呼ぶのは、二つの円盤の取り違えである。

8. 検算で気をつけた所

ニュートンの $G_N$ を解の加速度から測るとき、論文1092 で踏んだ桁落ち（1 に近い数どうしの引き算）を避けて、$\mu/r^{d-2}$ そのものの差を取った。光が回れる円は、$b=r/\sqrt f$ のいちばん小さい所を黄金分割の探索で探し、式と比べた。検算の下書きで、必ず通る条件（$2\pi\times0.5$ と $\pi$ の比べ合い）を検査に書きかけたので、係数そのものを比べる形に直した。

結び

結び：3 次元のブラックホールのエントロピー S＝A/4 は、地平線の断面の円盤の面積 πr² と同じ数で、4 分の 1 は球面と大円のアルキメデスの 4 を打ち消す。第一法則から、エントロピーは温度の式の 2π と、質量を表面重力で割って足したものの積で、後ろの因子が重力の定数の決め方で変わる。作用の G では円盤と同じ数になるのは 3 次元だけ、ニュートンの G では 3 次元と 4 次元で、それも殻ごとに一致し、理由は π を持たない球が点と線分の二つしかないことだった。8πG を 1 と置けば、どの次元でも 2π×面積で、円盤は出てこない。写真に写る影の円盤は光が回れる円の像で、地平線の断面の 27/4 倍、4 次元で 8 倍、5 次元で $\mathbf{9.425061169}$ 倍だった。正直に書くと、エントロピーの中身にも、情報がどこにあるかにも入っていない。分かったのは、3 次元のエントロピーの円盤が重力の定数の決め方の一つで現れる数の形で、写真の影とは別の円盤だということである。分離子は、空間の次元と、重力の定数の決め方である。

参考文献

1. Bekenstein, J. D. (1973). Black holes and entropy. Physical Review D.
2. Event Horizon Telescope Collaboration (2019). First M87 Event Horizon Telescope Results. I. The Shadow of the Supermassive Black Hole. The Astrophysical Journal Letters.
3. Hawking, S. W. (1975). Particle creation by black holes. Communications in Mathematical Physics.
4. Myers, R. C., & Perry, M. J. (1986). Black holes in higher dimensional space-times. Annals of Physics.
5. Tangherlini, F. R. (1963). Schwarzschild field in n dimensions and the dimensionality of space problem. Il Nuovo Cimento.
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13. 山岸勇輝 (2026). 『球の断面積は πa² の 1・2・4・8 倍の四つあり、4 が出るのは 3 次元だけである』[論文1081]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1081
14. 山岸勇輝 (2026). 『8π の 2 の点呼：出どころは十通りあり、次元を変えると三つの動き方に分かれる』[論文1085]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1085
15. 山岸勇輝 (2026). 『密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである』[論文1092]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「ブラックホールのエントロピーは 3 次元では地平線の断面の円盤の面積と同じ数で、写真に写る影の円盤はその 27/4 倍である」［論文1093］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1093

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  title = {In Three Dimensions the Entropy of a Black Hole Is the Same Number as the Area of the Horizon's Cross-Sectional Disk, and the Shadow Disk in the Photographs Is 27/4 Times Larger},
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  note = {Preprint, edition 1}
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