YOI 1094：商圏の重力モデルの「距離の 2 乗」は、地図の上では客の総数がちょうど収まらなくなる境目の指数である

論文1094 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1094 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1094】商圏の重力モデルの「距離の 2 乗」は、地図の上では客の総数がちょうど収まらなくなる境目の指数である

@misc{yamagishi2026yoi1094,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ``Squared Distance'' in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1094},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月31日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 973874・973887・973901 に記録されました（2026年10月31日 05:31（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ライリーの小売引力の法則（Reilly 1931）は、町や店が客を引き寄せる力を、大きさに比例し距離の 2 乗に反比例するとした。ハフのモデル（Huff 1963）は、それを客が店を選ぶ確率に書き直した。式の形はニュートンの重力にならっているが、2 の値は実測の幅 1.5〜2.5 を丸めた数である。一方、論文157 が示したとおり、3 次元の空間の逆二乗の 2 は d−1 の 2（殻ごとに同じだけ届く指数）である。本稿は、人が住む地図（2 次元）の上で、この 2 が何の役をするかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平面の上では、輪ごとに同じ数の客が来るのは 1 乗のときである。人が一様に住む平面で、店から距離 r の人が来る割合が距離の λ 乗に反比例するとき、幅 1 の輪から来る客は、λ＝1 ではどの輪でも 2π（論文01 の唯一性の平面版）である。λ＝2 では、客の数は半径を 10 倍するごとに 2π ln10＝$\mathbf{14.467569}$ ずつ増え続け、頭打ちにならない。λ＝3 では 2π に寄る（半径 10000 で $\mathbf{6.282557}$）。次元を 1 から 4 に動かすと、殻ごとに同じになる指数は d−1、対数で増え続ける境目は d、頭打ちは d＋1 以上である。ライリーの 2 は、一本の通りでは頭打ちの側、地図では境目、空間では殻ごとに同じ、と次元が一つ変わるごとに役が一つずつ移る。

第二に、これが本稿の芯である。2 乗の商圏では、半分の客が来る距離を町の端が決める。半径 R までに住む客の半分が来る距離は、λ＝1 で (R＋1)/2、λ＝2 で R の平方根（R＝100 で 10、10000 で 100）、λ＝3 で 2R/(R＋1)（2 に寄る）である。人の密度が外へ薄れる町（大きさ L）でも、L を 10 倍にすると半分の距離は、λ＝1 で $\mathbf{8.865280}$ 倍、λ＝2 で $\mathbf{2.710879}$ 倍、λ＝3 で $\mathbf{1.135952}$ 倍になり、2 乗では町の大きさで動き続ける。

第三に、ハフの分母も同じ境目にいる。店が間隔 1 の格子に並ぶ円い町で、最寄りの店から 0.5 の所に住む人がその店を選ぶ割合は、町の半径を 10 から 300 にすると、λ＝1 で $\mathbf{0.032297}$ から $\mathbf{0.001062}$、λ＝2 で $\mathbf{0.169463}$ から $\mathbf{0.088978}$、λ＝3 で $\mathbf{0.351926}$ から $\mathbf{0.342788}$ になる。λ＝2 の取り分の逆数は、町の半径の対数に比例して増え（式との差は最大 0.39 パーセント）、λ＝3 は一つの値に寄る。二つの店の境は、大きさ 4 対 1 で、λ＝1・2・3 のとき大きい店から 0.8・$\mathbf{0.666667}$・$\mathbf{0.613512}$ の所にある。

正直に書くと、実際の町や店に当てはめた指数は測っていない。ライリーやハフが誤りだとは言わない（当てはめの指数は、商品や町で変わる数として扱われている）。道路と移動時間は入れず、距離は直線で測った。境目で出る対数は論文1088 の衝突の対数と同じ型だが、同じ根とは呼ばない（論文300）。分かったのは、2 という同じ数が、空間では殻ごとに同じだけ届く指数で、地図では総和の境目の指数だということである。

キーワード：商圏、重力モデル、距離減衰、逆二乗則、ハフモデル、空間の次元、対数

Abstract

Reilly’s law of retail gravitation (Reilly 1931) took the pull of a town or a store on customers to be proportional to its size and inversely proportional to the square of the distance. Huff’s model (Huff 1963) rewrote it as the probability that a customer chooses a store. The form of the law follows Newton’s gravity, while the value 2 is a rounding of measured exponents of 1.5 to 2.5. Separately, as Paper 157 showed, the 2 of the inverse square in three-dimensional space is the 2 of d−1, the exponent that reaches every shell equally. This paper counts what role the 2 plays on the map, the two-dimensional surface where people live. No new theorem or law is claimed.

First, on a plane, the same number of customers comes from every ring when the exponent is 1. On a plane where people live uniformly, if the share of people at distance r who come falls as the λ-th power of the distance, the customers from a ring of width 1 are 2π in every ring for λ＝1 (the plane version of the uniqueness of Paper 01). For λ＝2 the number of customers keeps growing by 2π ln10＝$\mathbf{14.467569}$ each time the radius is multiplied by 10 and never levels off. For λ＝3 it approaches 2π ($\mathbf{6.282557}$ at radius 10000). Moving the dimension from 1 to 4, the exponent that is equal shell by shell is d−1, the border where the total keeps growing logarithmically is d, and levelling off needs d＋1 or more. Reilly’s 2 is on the levelling side on a single street, at the border on a map and equal shell by shell in space; each change of dimension by one moves its role by one.

Second, this is the core of the paper. In a squared-distance trade area, the edge of town decides the distance within which half the customers live. Of the customers living within radius R, half live within (R＋1)/2 for λ＝1, within the square root of R for λ＝2 (10 for R＝100, 100 for R＝10000) and within 2R/(R＋1) for λ＝3 (approaching 2). In a town whose population density thins outwards (size L), making L ten times larger multiplies the half distance by $\mathbf{8.865280}$ for λ＝1, $\mathbf{2.710879}$ for λ＝2 and $\mathbf{1.135952}$ for λ＝3; with the second power it keeps moving with the size of the town.

Third, the denominator of Huff’s model sits at the same border. In a round town with stores on a square grid of spacing 1, the share with which a person living 0.5 from the nearest store chooses that store goes, as the radius of the town grows from 10 to 300, from $\mathbf{0.032297}$ to $\mathbf{0.001062}$ for λ＝1, from $\mathbf{0.169463}$ to $\mathbf{0.088978}$ for λ＝2 and from $\mathbf{0.351926}$ to $\mathbf{0.342788}$ for λ＝3. For λ＝2 the reciprocal of the share grows in proportion to the logarithm of the town’s radius (largest deviation from the formula 0.39 per cent), and for λ＝3 it settles to a single value. For two stores of size 4 to 1, the border lies at 0.8, $\mathbf{0.666667}$ and $\mathbf{0.613512}$ from the larger store for λ＝1, 2 and 3.

To be candid, the exponent fitted to real towns or stores has not been measured. Reilly and Huff are not said to be wrong (the fitted exponent is treated as a number that changes with goods and towns). Roads and travel times are not included, and distances are straight lines. The logarithm at the border has the same form as the logarithm of collisions in Paper 1088, but it is not called the same root (Paper 300). What has been found is that the same number 2 is, in space, the exponent that reaches every shell equally and, on a map, the exponent at the border of the total.

Keywords: trade area, gravity model, distance decay, inverse-square law, Huff model, dimension of space, logarithm

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第2版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1094/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1094 はいつも最新の版を指します）。

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