【論文1094】商圏の重力モデルの「距離の 2 乗」は、地図の上では客の総数がちょうど収まらなくなる境目の指数である

要旨

ライリーの小売引力の法則（Reilly 1931）は、町や店が客を引き寄せる力を、大きさに比例し距離の 2 乗に反比例するとした。ハフのモデル（Huff 1963）は、それを客が店を選ぶ確率に書き直した。式の形はニュートンの重力にならっているが、2 の値は実測の幅 1.5〜2.5 を丸めた数である。一方、論文157 が示したとおり、3 次元の空間の逆二乗の 2 は d−1 の 2（殻ごとに同じだけ届く指数）である。本稿は、人が住む地図（2 次元）の上で、この 2 が何の役をするかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平面の上では、輪ごとに同じ数の客が来るのは 1 乗のときである。人が一様に住む平面で、店から距離 r の人が来る割合が距離の λ 乗に反比例するとき、幅 1 の輪から来る客は、λ＝1 ではどの輪でも 2π（論文01 の唯一性の平面版）である。λ＝2 では、客の数は半径を 10 倍するごとに 2π ln10＝$\mathbf{14.467569}$ ずつ増え続け、頭打ちにならない。λ＝3 では 2π に寄る（半径 10000 で $\mathbf{6.282557}$）。次元を 1 から 4 に動かすと、殻ごとに同じになる指数は d−1、対数で増え続ける境目は d、頭打ちは d＋1 以上である。ライリーの 2 は、一本の通りでは頭打ちの側、地図では境目、空間では殻ごとに同じ、と次元が一つ変わるごとに役が一つずつ移る。

第二に、これが本稿の芯である。2 乗の商圏では、半分の客が来る距離を町の端が決める。半径 R までに住む客の半分が来る距離は、λ＝1 で (R＋1)/2、λ＝2 で R の平方根（R＝100 で 10、10000 で 100）、λ＝3 で 2R/(R＋1)（2 に寄る）である。人の密度が外へ薄れる町（大きさ L）でも、L を 10 倍にすると半分の距離は、λ＝1 で $\mathbf{8.865280}$ 倍、λ＝2 で $\mathbf{2.710879}$ 倍、λ＝3 で $\mathbf{1.135952}$ 倍になり、2 乗では町の大きさで動き続ける。

第三に、ハフの分母も同じ境目にいる。店が間隔 1 の格子に並ぶ円い町で、最寄りの店から 0.5 の所に住む人がその店を選ぶ割合は、町の半径を 10 から 300 にすると、λ＝1 で $\mathbf{0.032297}$ から $\mathbf{0.001062}$、λ＝2 で $\mathbf{0.169463}$ から $\mathbf{0.088978}$、λ＝3 で $\mathbf{0.351926}$ から $\mathbf{0.342788}$ になる。λ＝2 の取り分の逆数は、町の半径の対数に比例して増え（式との差は最大 0.39 パーセント）、λ＝3 は一つの値に寄る。二つの店の境は、大きさ 4 対 1 で、λ＝1・2・3 のとき大きい店から 0.8・$\mathbf{0.666667}$・$\mathbf{0.613512}$ の所にある。

正直に書くと、実際の町や店に当てはめた指数は測っていない。ライリーやハフが誤りだとは言わない（当てはめの指数は、商品や町で変わる数として扱われている）。道路と移動時間は入れず、距離は直線で測った。境目で出る対数は論文1088 の衝突の対数と同じ型だが、同じ根とは呼ばない（論文300）。分かったのは、2 という同じ数が、空間では殻ごとに同じだけ届く指数で、地図では総和の境目の指数だということである。

キーワード：商圏、重力モデル、距離減衰、逆二乗則、ハフモデル、空間の次元、対数。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ライリーの小売引力の法則（Reilly 1931）、ハフの確率のモデル（Huff 1963）、二つの中心の境の式、平面の上の積分が指数 2 で対数になること、格子の上の和が 2 次元では指数 2 で収束しなくなることは、いずれも既知である。実際の町や店に当てはめない。当てはめの指数がいくつに出るかは測っていない。実在の会社や店を評価しない。出店や投資の助言をしない。道路と移動時間を入れない。人は一様に住むか、密度が外へ指数で薄れるかの二通りだけを置き、距離は直線で測る。既刊との関係：論文01 は、殻の重さの増え方が半径によらないのは密度の指数が 2 のときだけであることを示し、論文02 は、指数 n の単位球の中身が 4π/(3−n) で、n＝3 で収まらなくなることを示した。ここでは、同じ計算を人の住む平面で行い、殻ごとに同じは 1、収まらなくなる境目は 2 になることを数える。論文114 は、d 次元で殻ごとに同じになる指数が d−1 であることを点検し、論文157 は、逆二乗の 2 が d−1 で、次元を動かすと動くことを示した。ここでは、2 を固定したまま次元を動かすと、その役が d＋1・d・d−1 と移ることを数える。論文456 は、騒音の点音源は距離の 2 乗、線音源は 1 乗で薄まり、二つは別根であるとした。ここでの 1 乗（平面の輪ごとに同じ）は、線音源の 1 乗と同じ数え方である。論文1088 は、衝突の径数についての積分が対数になるのは 3 次元だけであることを数え、論文1092 は、密度 1/r² の 2 が二つあることを示した。ここでの対数も、指数が次元とちょうど同じになる境目で出る。論文300 は、数が同じでも同じ根とは呼ばない基準を立てた。加えたのは、商圏の重力モデルの 2 が地図の上では総和の境目の指数であること、その帰結として、客の数が半径の対数で増え続け、半分の客が来る距離が町の端で決まること、人の密度が薄れる町でもその距離が町の大きさで動くこと、ハフの分母も同じ境目にいて、最寄りの店の取り分の逆数が町の半径の対数で増えること、2 の役が次元とともに一つずつ移ることである。

1. 問い

ライリーの小売引力の法則（Reilly 1931）は、二つの町が、そのあいだに住む人の買い物を引き寄せる力を、町の大きさに比例し、距離の 2 乗に反比例するとした。ハフのモデル（Huff 1963）は、店 $j$ の大きさを $S_j$、客から店までの距離を $d_j$ として、客がその店を選ぶ確率を

$$P_j=\frac{S_j/d_j^{\lambda}}{\sum_k S_k/d_k^{\lambda}}$$

と書き、距離の指数 $\lambda$ を当てはめで決める形にした。ライリーの式の形はニュートンの重力にならっているが、2 の値は実測の幅 1.5〜2.5 を丸めた数である。論文157 が示したとおり、3 次元の空間の逆二乗の 2 は $d-1$ で、球面の面積が $r^2$ で広がることから来る。

ところが、客は空間ではなく地図の上に住んでいる。本稿は、人が住む平面（2 次元）の上で、この 2 が何の役をするかを数える。以下、最寄りの距離を 1 とし（店のすぐ隣の人は距離 1 から数える）、人の密度は 1 とする。

2. 平面の輪

店から距離 $r$ の幅 $dr$ の輪には $2\pi r dr$ 人が住む。来る割合が $r^{-\lambda}$ なら、半径 1 から $R$ までの客の数は

$$N(R)=\int_1^{R}2\pi r\cdot r^{-\lambda}\,dr$$

である。数値の積分（対数の目盛りの台形則）で数え、式と比べた（相対差の最大 $4.42\times10^{-11}$）。

$\lambda=1$ では、幅 1 の輪から来る客は、半径 1 から 2、9 から 10、99 から 100 のどれでも $6.283185$（$2\pi$）で、輪ごとに同じである。これは、論文01 の「殻ごとに同じになるのは指数 2 だけ」の平面版である。平面の輪の長さは $2\pi r$ で $r$ の 1 乗だから、輪ごとに同じになる指数は 1 になる。

$\lambda=2$ では、客の数は半径を 10 倍するごとに $2\pi\ln10=14.467569$ ずつ増える（10 から 100、100 から 1000、1000 から 10000 で三回とも同じ）。どこまで行っても頭打ちにならない。$\lambda=3$ では $2\pi$ に寄る（半径 10000 で $6.282557$）。平面の上では、$\lambda=2$ は、客の総数が収まるか収まらないかのちょうど境目である。

3. 次元を動かす

同じ計算を $d$ 次元で行う（輪の大きさは $S_{d-1}r^{d-1}$、$S_{d-1}$ は半径 1 の球面の大きさ）。殻ごとに同じになる指数 $d-1$ での幅 1 の殻の客、境目の指数 $d$ で半径を 10 倍したときの増え、指数 $d+1$ の半径 $10^6$ までの客を並べる。

どの次元でも、殻ごとに同じは $d-1$、対数で増え続ける境目は $d$、頭打ちは $d+1$ 以上である（論文02 の $4\pi/(3-n)$ が $n=3$ で収まらなくなるのは、3 次元の境目）。ライリーの 2 を固定して次元を動かすと、その役は一つずつ移る。

3 次元で「どの殻からも同じだけ届く」2 は、地図に置くと「総和がちょうど収まらない」2 になる。

4. 半分の客が来る距離

半径 $R$ までに住む客の半分が、どこまでに住むかを、二分法で数えた。

式で書くと、$\lambda=1$ は $(R+1)/2$、$\lambda=2$ は $\sqrt R$、$\lambda=3$ は $2R/(R+1)$ である（どれも二分法と相対差 $10^{-4}$ 以内）。1 乗では半分の客は町の半分の距離から来て、3 乗では町の大きさによらず最寄りの距離の 2 倍までから来る。2 乗では、町の端までの距離の平方根で、町の端をどこに置くかで決まる。

一様に住む平面は、端を切った町である。そこで、人の密度が外へ $e^{-r/L}$ で薄れる町（大きさ $L$）でも数えた。

端がぼやけた町でも、2 乗の半分の距離は町の大きさで動き続ける（10 倍で $2.710879$ 倍）。3 乗はほとんど動かず（$1.135952$ 倍）、1 乗は町とともに伸びる（$8.865280$ 倍）。

5. ハフの分母

ハフのモデルの分母 $\sum_k S_k/d_k^{\lambda}$ も、店が平面に広がっていれば同じ境目にいる。同じ大きさの店が間隔 1 の正方格子に並ぶ円い町（半径 $R_c$）で、最寄りの店から 0.5 の所に住む人が、その最寄りの店を選ぶ割合を数えた。

町を 30 倍にすると、取り分は $\lambda=1$ で $0.032875$ 倍（ほぼ 30 分の 1）、$\lambda=2$ で $0.525056$ 倍、$\lambda=3$ で $0.974034$ 倍になる。$\lambda=2$ では、分母の和は平面の上で $2\pi\ln R_c$ のように増えるので、取り分の逆数は町の半径の対数に比例して増える。10 から 30、30 から 100、100 から 300 での逆数の増えは $1.719000$・$1.893233$・$1.725559$ で、$2\pi\ln(\text{比})\times0.25$ の $1.725696$・$1.891196$・$1.725696$ と最大 0.39 パーセントで合う（0.25 は最寄りの距離 0.5 の 2 乗）。$\lambda=3$ では、町を広げるたびの取り分の減りが $0.006343$・$0.002179$・$0.000616$ と小さくなり、一つの値に寄る。2 乗のハフのモデルでは、店がどこまで並んでいるか（町の大きさ）で、すぐ隣の店の取り分がゆっくり動き続ける。

6. 二つの店の境

大きさ $A$ と $B$ の二つの店が距離 1 だけ離れているとき、二つの引き寄せが同じになる境は、大きい店から

$$x=\frac{1}{1+(B/A)^{1/\lambda}}$$

の所にある（二分法と $10^{-12}$ 以内で一致）。

指数が大きいほど、境は二つの店のまんなかに寄る。大きい店の商圏の広さは、指数をいくつと置くかで動く。

7. 2 の役

ライリーの 2 は実測を丸めた数で、ニュートンの 2 と同じ値になった。ニュートンの 2 は 3 次元の空間で殻ごとに同じだけ届く指数 $d-1$ で（論文157）、論文456 の点音源の 2 乗と同じ数え方である。同じ 2 を地図に置くと、輪ごとに同じになるのは 1（論文456 の線音源の 1 乗と同じ数え方）で、2 は総和がちょうど収まらなくなる境目 $d$ の役になる。境目では対数が出る。論文1088 が数えた衝突の対数も、指数が次元とちょうど同じになる所で出る。型は同じだが、測ったものが違うので、同じ根とは呼ばない（論文300）。

当てはめの指数が商品や町で変わることは、ハフのモデルが前から扱ってきた。本稿が数えたのは、その指数が 1・2・3 のどこにあるかで、商圏の性質（輪ごとに同じか、町の端で決まるか、最寄りで決まるか）が分かれることである。

8. 検算で見たこと

初めの検算では、二つの検査が落ちた。$\lambda=3$ の取り分を「町を 30 倍にしても 1 パーセント以内」、薄れる町の $\lambda=3$ の倍率を「1.05 未満」と、測る前に閾値を置いていた。実測は $0.974034$ 倍と $1.135952$ 倍だった。実測を見てから、取り分は「町を広げるたびの減りが小さくなって寄る」こと、倍率は三つの指数の大小と幅で挟む形に書き直した。

結び

結び：商圏の重力モデルの距離の 2 乗は、式の形をニュートンの重力にならい、値は実測の幅を丸めた数で、3 次元の空間なら殻ごとに同じだけ届く指数だが、人の住む地図の上では、客の総数がちょうど収まらなくなる境目の指数になる。平面で輪ごとに同じ数の客が来るのは 1 乗のときで、2 乗では客の数は半径を 10 倍するごとに $\mathbf{14.467569}$ ずつ増え続け、半分の客が来る距離は町の端までの距離の平方根になる。人の密度が薄れる町でも、その距離は町を 10 倍にして $\mathbf{2.710879}$ 倍に動く。ハフの分母も同じ境目にいて、最寄りの店の取り分の逆数は町の半径の対数で増える。次元が一つ変わるごとに、同じ 2 の役は、頭打ち・境目・殻ごとに同じ、と一つずつ移る。正直に書くと、実際の町に当てはめた指数は測っていない。分かったのは、2 という数を地図に置いたときの役である。分離子は、面の次元と、指数が d−1・d・d＋1 のどれにあたるか。

改訂記録

第2版（2026年10月）：第1版は「ライリーの 2 はニュートンの重力の 2 にならった数」と書いたが、資料と合わなかった。式の形がニュートンにならっているのは確かだが、距離の指数は実測の幅 1.5〜2.5 の最も近い整数として 2 と見積もられた（ライリーの 1931 年の原著を読み直した解説による。原著そのものは読んでいない）。要旨・第 1 節・「2 の役」の節・結びを直した。数の表と、地図の上で 2 が境目の指数になるという芯は変わらない。

参考文献

1. Huff, D. L. (1963). A Probabilistic Analysis of Shopping Center Trade Areas. Land Economics.
2. Reilly, W. J. (1931). The Law of Retail Gravitation. New York.
3. 山岸勇輝 (2026). 『球対称密度分布における n = 2 の唯一性定理』[論文01]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21403186
4. 山岸勇輝 (2026). 『4π質量相殺定理』[論文02]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/2 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21403931
5. 山岸勇輝 (2026). 『「4次元らしさ」を担うのは誰か』[論文114]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/114 ・ DOI: 10.5281/zenodo.21963544
6. 山岸勇輝 (2026). 『二乗の点呼』[論文157]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/157 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22091931
7. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/300 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22171914
8. 山岸勇輝 (2026). 『うるささを半分にするのに、距離を倍にしても足りない』[論文456]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/456 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22733038
9. 山岸勇輝 (2026). 『同じ 4π/m でも、プラズマ振動数の 4π は立体角で、ベーテの式の 4π は輪の 2π の 2 倍である』[論文1088]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1088
10. 山岸勇輝 (2026). 『密度 1/r² の「2」は二つあり、球殻の重さの 2 と地平線のつり合いの 2 が重なるのは 3 次元だけである』[論文1092]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1092

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「商圏の重力モデルの「距離の 2 乗」は、地図の上では客の総数がちょうど収まらなくなる境目の指数である」［論文1094］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1094

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ``Squared Distance'' in Retail Gravity Models Is, on a Map, the Exponent at the Border Where the Total Number of Customers Stops Converging},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1094},
  note = {Preprint, edition 2}
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