Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文164 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/164 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092815）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文164】「確率」は四つの住所を持つ

@misc{yamagishi2026yoi164,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Probability Has Four Addresses},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/164},
  doi = {10.5281/zenodo.22092815},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「確率」という一語が、少なくとも四つの別のものを指している。本稿はそれを点呼し、住所を書く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、コルモゴロフの公理は構文であって答ではない。同じデータ（$10$ 回中 $0$ 回）に対し、頻度は $0$、一様事前のベイズは $0.083333$、$\mathrm{Beta}(10,1)$ 事前のベイズは $0.476190$、三つとも公理を完全に満たす（本稿で計算）（第2節）。

第二に、データが薄いところで二つは別れる。$n=0$ では頻度の推定値がそもそも存在せず、ベイズは $0.5$。$10$ 回投げて $0$ 回なら、一方は「確率はちょうど $0$」と言い、他方は $1/12$ と言う（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。$95\%$ 信頼区間は $95\%$ を覆わない。ワルド区間の厳密な被覆確率を二項分布で足し上げると、$n=20$・$p=0.05$ で $0.6389$。しかも $n$ について単調ですらない。$p=0.05$ で $0.6389\ (n=20)$、$0.9199\ (n=50)$、$0.8775\ (n=100)$（第4節）。

第四に、信用区間は別の問いに答えている。同じ場面で被覆は $0.9245$（$n=20$、$p=0.05$）だが、そもそも「$95\%$ 覆え」とは要求されていない。このデータのもとで事後確率の $95\%$ を含む、というだけである（第5節）。

第五に、量子の確率は大域的にはこの構文に入らない。$16$ 個の決定的な割り当て上の分布で一重項の相関を再現しようとすると、到達できる最も近い点までの距離は $0.414214$、解析値 $(S-2)/2=0.414214$ と一致した（本稿で計算）（第6節）。

Abstract

The single word “probability” names at least four different things. This paper calls them by name and writes their addresses. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, Kolmogorov’s axioms are a syntax, not an answer. On the same data ($0$ successes in $10$ trials), the frequentist value is $0$, the Bayesian one with a uniform prior is $0.083333$, and with a $\mathrm{Beta}(10,1)$ prior it is $0.476190$、and all three satisfy the axioms in full (computed here) (Section 2).

Second, where the data is thin the two part company. At $n=0$ the frequentist estimate does not exist at all, while the Bayesian one is $0.5$. After ten trials with no successes, one says the probability is exactly $0$ and the other says $1/12$ (Section 3).

Third, and this is the core. A $95\%$ confidence interval does not cover $95\%$ of the time. Summing the binomial mass exactly, the Wald interval covers $0.6389$ of the time at $n=20$, $p=0.05$. Nor is it even monotone in $n$、at $p=0.05$ the coverage runs $0.6389\ (n=20)$, $0.9199\ (n=50)$, $0.8775\ (n=100)$ (Section 4).

Fourth, a credible interval answers a different question. In the same situation its coverage is $0.9245$, but it was never asked to cover $95\%$、only to contain $95\%$ of the posterior mass for this data (Section 5).

Fifth, quantum probability does not fit that syntax globally. Trying to reproduce the singlet correlations with a distribution over the $16$ deterministic assignments, the closest reachable point is at distance $0.414214$、agreeing with the analytic value $(S-2)/2=0.414214$ (computed here) (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/164/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/164 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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