Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文217 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/217 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22119628）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文217】距離だけを守れと言うと、直線性まで守ってしまう

@misc{yamagishi2026yoi217,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Ask Only That Distances Be Kept, and Straightness Is Kept Too},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/217},
  doi = {10.5281/zenodo.22119628},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

等長写像に課されているのは距離を保てという一つだけであり、足し算にも定数倍にも何も言っていない。それでも全射でありさえすれば、必ずアフィンになる（マズール＝ウラム）。本稿はその「ありさえすれば」がどれだけ効いているかを数で測る。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、全射なら本当にアフィンである。回転と平行移動を無作為な $20$ 万組で試すと、距離の誤差は $5.33\times10^{-15}$、中点でのずれは $1.78\times10^{-15}$（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。最大値ノルムの平面へ $t\mapsto(t,g(t))$ と写すと、$g$ が傾き $1$ 以下ならどんな関数でも距離が正確に保たれる。距離の誤差は $\mathbf{0}$ ちょうどで、中点でのずれは $g=|t|$ で $\mathbf{19.94}$ に達した（第3節）。

第三に、同じ写像は普通のノルムでは等長でない。$\ell^2$ で測ると比は $1.41421356$ まで上がる。反例が寄りかかっているのはノルムの選択である（第4節）。

第四に、効いているのは中点が一つに決まるかである。許容誤差を $10^{-2}$ から $10^{-4}$ へ絞ると、有限の $p$ では中点集合の直径が縮むのに、最大値ノルムでは $2.0180\to2.0020\to\mathbf{2.0000}$ と動かない（第5節）。

第五に、複素数では実の直線性しか出ない。共役は距離を誤差 $0$ で保つのに、$|\overline{iz}-i\bar z|$ は $8.478$ に達する（第7節）。

Abstract

An isometry is asked one thing only, that distances be kept, and nothing whatever about addition or scaling. And still, provided only that it is onto, it must be affine (Mazur–Ulam). This paper measures how much work that “provided only” is doing. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, a surjective isometry really is affine. Testing a rotation with a shift on two hundred thousand random pairs, the error in the distances is $5.33\times10^{-15}$ and the bend at the midpoint $1.78\times10^{-15}$ (Section 2).

Second, this is the core. Mapping the line into the plane with the max-norm by $t\mapsto(t,g(t))$ keeps every distance exactly, for any $g$ whatever of slope at most one、the error in the distances is exactly zero and the bend at the midpoint reaches $\mathbf{19.94}$ for $g=|t|$ (Section 3).

Third, the same map is not an isometry for the ordinary norm. Measured in $\ell^2$ the ratio rises to $1.41421356$、what the counterexample leans on is the choice of norm (Section 4).

Fourth, what does the work is whether the midpoint is one point. Tightening the tolerance from $10^{-2}$ to $10^{-4}$ shrinks the diameter of the midpoint set at every finite $p$, and for the max-norm it does not move: $2.0180\to2.0020\to\mathbf{2.0000}$ (Section 5).

Fifth, over the complex numbers only real straightness follows. Conjugation keeps every distance with error $0$, and $|\overline{iz}-i\bar z|$ reaches $8.478$ (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/217/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/217 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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