YOI 531：同じ「平方根」が、五つの別のものに掛かっている

論文531 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/531 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014103）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文531】同じ「平方根」が、五つの別のものに掛かっている

@misc{yamagishi2026yoi531,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One and the Same Square Root Is Taken of Five Different Things},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/531},
  doi = {10.5281/zenodo.23014103},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月21日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972369・972387・972391 に記録されました（2026年10月21日 04:31（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「平方根」という同じ記号が、数にも、作用素にも、時間にも、行列にも、関数にも掛かっている。本稿が示すのは、五つで振る舞いが違い、解の個数も一意性も別々であることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、数の平方根は、住まわせる場所で個数が変わる。二乗して $-1$ になるものは実数で $\mathbf{0}$ 個、複素数で $\mathbf{2}$ 個、四元数では単位虚四元数すべてで、$200$ 個試して最大誤差 $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$ である（第2節）。

第二に、作用素の平方根は、行列の反交換関係で決まる。ディラック作用素の二乗がスカラー $p^{2}=\mathbf{-3.3700000000}$ に戻り、非対角も含めた最大誤差は $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$ である（第3節）。

第三に、時間の平方根は、測る量である。乱歩の二乗平均は $t=4000$ で $\mathbf{63.301193}$、指数は仮定せずに測って $\mathbf{0.502469}$ である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。行列の平方根は一意でない。同じ共分散に対しコレスキーと対称平方根がどちらも $10^{-12}$ 以内で再現するのに、二つはフロベニウス距離で $\mathbf{0.562852}$ 離れている（第5節）。

第五に、関数の平方根は、置き場所を間違えるとノルムでなくなる。$L^{2}$ は $\|2f\|$ がちょうど $\mathbf{2.000000}$ 倍になるが、$\sqrt{\int|f|}$ は $\mathbf{1.414214}$ 倍にしかならない（第6節）。

第六に、分離子は、何の平方根かである。数・作用素・時間・行列・関数で、問える性質が違う（第7節）。

キーワード：平方根、四元数、ディラック行列、行列の平方根、乱歩

Abstract

The same symbol for a square root is applied to numbers, to operators, to time, to matrices and to functions.What this paper shows is that the five behave differently, with different counts of solutions and different answers on uniqueness.No new theorem or law is claimed.

First, for numbers the count depends on where they are housed、things squaring to $-1$ number $\mathbf{0}$ in the reals, $\mathbf{2}$ in the complexes, and every unit imaginary quaternion, with a worst error of $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$ over $200$ trials (Section 2).

Second, for operators the anticommutation relations decide、the Dirac operator squares back to the scalar $p^{2}=\mathbf{-3.3700000000}$, with a worst error including off-diagonal entries of $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$ (Section 3).

Third, for time it is something measured、a random walk reaches a root-mean-square of $\mathbf{63.301193}$ at $t=4000$, and the exponent, measured rather than assumed, is $\mathbf{0.502469}$ (Section 4).

Fourth, and this is the core.For matrices it is not unique、Cholesky and symmetric square roots both reproduce the same covariance to within $10^{-12}$, and yet stand $\mathbf{0.562852}$ apart in Frobenius distance (Section 5).

Fifth, for functions the placement decides whether it is a norm、$L^{2}$ scales $\|2f\|$ by exactly $\mathbf{2.000000}$, while $\sqrt{\int|f|}$ scales by only $\mathbf{1.414214}$ (Section 6).

Sixth, the separator is what the root is taken of、number, operator, time, matrix or function: different questions can be asked of each (Section 7).

Keywords: square root, quaternions, Dirac matrices, matrix square root, random walk

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/531/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/531 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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