【論文531】同じ「平方根」が、五つの別のものに掛かっている

要旨

「平方根」という同じ記号が、数にも、作用素にも、時間にも、行列にも、関数にも掛かっている。本稿が示すのは、五つで振る舞いが違い、解の個数も一意性も別々であることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、数の平方根は、住まわせる場所で個数が変わる。二乗して $-1$ になるものは実数で $\mathbf{0}$ 個、複素数で $\mathbf{2}$ 個、四元数では単位虚四元数すべてで、$200$ 個試して最大誤差 $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$ である（第2節）。

第二に、作用素の平方根は、行列の反交換関係で決まる。ディラック作用素の二乗がスカラー $p^{2}=\mathbf{-3.3700000000}$ に戻り、非対角も含めた最大誤差は $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$ である（第3節）。

第三に、時間の平方根は、測る量である。乱歩の二乗平均は $t=4000$ で $\mathbf{63.301193}$、指数は仮定せずに測って $\mathbf{0.502469}$ である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。行列の平方根は一意でない。同じ共分散に対しコレスキーと対称平方根がどちらも $10^{-12}$ 以内で再現するのに、二つはフロベニウス距離で $\mathbf{0.562852}$ 離れている（第5節）。

第五に、関数の平方根は、置き場所を間違えるとノルムでなくなる。$L^{2}$ は $\|2f\|$ がちょうど $\mathbf{2.000000}$ 倍になるが、$\sqrt{\int|f|}$ は $\mathbf{1.414214}$ 倍にしかならない（第6節）。

第六に、分離子は、何の平方根かである。数・作用素・時間・行列・関数で、問える性質が違う（第7節）。

キーワード：平方根、四元数、ディラック行列、行列の平方根、乱歩。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。四元数も、ディラック行列も、乱歩も、行列の平方根も、$L^{p}$ 空間も標準的である。五つで尽きるとは書かない。数えたのは五つで、他に無いとは主張しない。論文157 と論文294 の裏返しにしない。論文157 は二乗を点呼し、論文294 は尺度の平方根を三つ点呼した。本稿の軸は「何の平方根か」であって、どの分野かでも、どの尺度かでもない。作用素論に立ち入らない。非有界作用素の平方根の存在と一意性の議論は扱わない。量子力学の解釈をしない。ディラック作用素は代数の見本として使う。行列の平方根の計算法を比べない。コレスキーと対称平方根のどちらが速いか、安定かは主題ではない。$L^{p}$ の一般論を述べない。$p=2$ とその周りだけを見る。既刊との関係：論文157 は二乗を点呼した。本稿はその逆向きだが、軸を「何に掛かっているか」に置いたので、同じ表の裏返しにはならない。論文294 は分離が長さの平方根でしか良くならないと示した。あちらは尺度の平方根の一つの場合で、本稿の第三の身分に属する。論文236 は同じ「$=0$」でも解の集まりが五種類だと示した。本稿の第一節はその特別な場合であり、$x^{2}=-1$ の解の個数が場所で変わる。論文375 は第一主成分を選んでいるのが単位だと示した。そこで使う白色化が共分散の平方根であり、本稿はその一意性の無さを測る。論文216 は近づいているのに近づいていない場合を扱った。そこでの距離が $L^{2}$ であり、本稿の第五の身分である。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。五つは「量の持ち物」の基準で別根である。加えたのは、五つを並べて、それぞれで解の個数と一意性を測ったこと、単位虚四元数が二乗して $-1$ になることを $200$ 個で確かめたこと、ディラック作用素の二乗を $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$ まで確かめたこと、行列の平方根が二つとも再現するのに $\mathbf{0.562852}$ 離れていると測ったこと、分離子を「何の平方根か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：$\sqrt{\phantom{x}}$ は「二乗するとそれになるもの」を返す記号である。しかし何を二乗するかは、書かれていない。

観察 1.1　二乗の意味が違えば、平方根の意味も違う。数の掛け算、作用素の合成、行列の積、関数の積分、同じ記号が、四つ以上の別の演算の逆をたどっている。

観察 1.2　論文157 の裏返しではない。あちらは「$2$」という数がどこに出るかを点呼した。本稿は $\sqrt{\phantom{x}}$ が何に掛かっているかを分ける。分野で分けるのでも、尺度で分けるのでもない。

問い：五つで、解の個数と一意性はどう変わるか。

2. 数の平方根、個数が場所で変わる

計算 2.1：二乗して $-1$ になるものを、三つの場所で数えた。

観察 2.2　四元数の場合を、実際に確かめた。無作為な単位虚四元数を $200$ 個作って二乗し、最大誤差 $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$、$i$ や $j$ のような特別なものだけではない。

観察 2.3　単位でなければ $-1$ にならない。長さ $2$ の虚四元数を二乗すると $-4$、境目の反対側。検査が「どんな四元数でも $-1$」と言っているのではないことを確かめた。

観察 2.4　論文236 の特別な場合である。あちらは同じ「$=0$」でも解の集まりが五種類だと示した。ここでは $x^{2}+1=0$ の解が、空集合・二点・二次元球面と変わる。

3. 作用素の平方根、反交換関係が決める

計算 3.1：ディラック表現のガンマ行列を組み、$(\gamma\cdot p)^{2}$ を計算した。$p=(1.3,-0.7,0.4,2.1)$ とした。

観察 3.2　行列を二乗したのにスカラーが返る。非対角がすべて $10^{-16}$ の桁で消える。これは偶然ではなく、$\gamma$ の反交換関係の帰結である。

観察 3.3　ここでの平方根は「取る」のではなく「作る」ものである。ラプラシアンの平方根を求めたら行列が出てきた。解を探した結果、住む場所を増やさなければならなかった。第2節の四元数と同じ形である。

観察 3.4　数の平方根とは、一意性の様子も違う。$\gamma$ の表現は一意でなく、ディラック表現もワイル表現も同じ関係を満たす。個数を数えるより、同値かどうかを問うほうが自然になる。

4. 時間の平方根、測る量である

計算 4.1：一次元の乱歩を $4000$ 歩、$4000$ 個走らせ、二乗平均を測った。

観察 4.2　指数は仮定せずに測った。対数の傾きで $\mathbf{0.502469}$、$\sqrt{t}$ を前提に置いて $0.5$ を取り出したのではない。$1$ でも $0$ でもない。

観察 4.3　ここでの平方根は、代数から出ていない。独立な足し算の分散が加法的だという性質から出る。第2節・第3節の平方根が代数の話だったのに対し、これは確率の話である。

観察 4.4　論文294 が扱ったのがこの身分である。分離が長さの平方根でしか良くならない。あちらは同じ $\sqrt{}$ を三つの尺度で点呼した。本稿はそれを五つのうちの一つとして置く。

5. 行列の平方根、一意でない

計算 5.1：共分散 $\Sigma$ を $\Sigma_{11}=4$、$\Sigma_{12}=1.5$、$\Sigma_{22}=2$ として、二通りの平方根を作った。

観察 5.2　これが本稿の芯である。どちらも $\Sigma$ を $10^{-12}$ 以内で再現するのに、二つは $\mathbf{0.562852}$ 離れている。「$\Sigma$ の平方根」という言い方は、一つのものを指していない。

観察 5.3　どちらを選ぶかで結果が変わる。白色化してから座標を読む場面では、選んだ平方根が座標を決める。論文375 が「第一主成分を選んでいるのは単位である」と示したのと同じ型で、ここでは平方根の選び方が選んでいる。

観察 5.4　数の平方根の「二個」とも違う。符号の違いだけなら二個だが、行列では直交行列を右から掛けた分だけ在る。連続無限個であって、二個ではない。

6. 関数の平方根、置き場所でノルムでなくなる

計算 6.1：$f$ を定数倍したとき、二つの量がどう変わるかを測った。

観察 6.2　$L^{2}$ は斉次で、もう片方は斉次でない。$c=9$ で $\mathbf{9.000000}$ 対 $\mathbf{3.000000}$、$\sqrt{}$ を積分の外に置くか中に置くかで、ノルムの公理を満たすかどうかが変わる。

観察 6.3　私は書く前に、三角不等式のほうが破れると予想した。外れた。$\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}$ が常に成り立つので、$\sqrt{\int|f|}$ も劣加法的である。破れるのは斉次性のほうだけである。予想を書いておかなければ、この誤りは記録に残らなかった。

観察 6.4　論文216 の距離がこの身分である。近づいているのに近づいていない場合の「近さ」が $L^{2}$、その $\sqrt{}$ は、斉次性のために置かれている。

7. 分離子

観察 7.1　分離子は、何の平方根かである。

観察 7.2　論文300 の「量の持ち物」で分かれる。数の平方根は場所を持ち物にし、行列の平方根は選び方を持ち物にする。持ち物を書かずに「平方根」と書くと、どれのことか決まらない。

観察 7.3　五つで尽きるとは書かない。数えたのは五つである。尽くしたと言うには、尽くし方を先に決めなければならない。

観察 7.4　言わないこと。作用素論にも $L^{p}$ の一般論にも立ち入らない。ディラック作用素は代数の見本として使い、量子力学の解釈もしていない。

8. 点呼と結び

1. 二乗して $-1$ は実数で $\mathbf{0}$ 個（計算 2.1）：複素数で $\mathbf{2}$ 個。
2. 四元数では単位虚四元数すべて（観察 2.2）：$200$ 個で誤差 $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$。
3. 長さ $2$ なら $-4$（観察 2.3）：境目の反対側。
4. $(\gamma\cdot p)^{2}=\mathbf{-3.3700000000}$（計算 3.1）：最大誤差 $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$。
5. 行列を二乗してスカラー（観察 3.2）：反交換関係の帰結。
6. 乱歩の指数は $\mathbf{0.502469}$（観察 4.2）：測った値。
7. コレスキーと対称形の差 $\mathbf{0.562852}$（計算 5.1）：本稿の芯。
8. どちらも $\Sigma$ を再現する（計算 5.1）：一意でない。
9. $L^{2}$ は $c=9$ で $\mathbf{9.000000}$ 倍（計算 6.1）：斉次。
10. $\sqrt{\int|f|}$ は $\mathbf{3.000000}$ 倍（観察 6.2）：斉次でない。
11. 三角不等式は破れなかった（観察 6.3）：私の予想は外れた。

結び：「平方根」という同じ記号が、数にも、作用素にも、時間にも、行列にも、関数にも掛かっている。数の平方根は、住まわせる場所で個数が変わる。二乗して $-1$ になるものは実数で $\mathbf{0}$ 個、複素数で $\mathbf{2}$ 個、四元数では単位虚四元数すべてで、無作為な $200$ 個を試して最大誤差 $\mathbf{2.22\times10^{-16}}$ である。単位でなければ $-1$ にならず、長さ $2$ の虚四元数は $-4$ を返すので、検査が「どんな四元数でも」と言っているのではない。論文236 の特別な場合で、$x^{2}+1=0$ の解が空集合・二点・二次元球面と変わる。作用素の平方根は、反交換関係が決める。$(\gamma\cdot p)^{2}$ の対角は $\mathbf{-3.3700000000}$ で $p^{2}$ に戻り、非対角も含めた最大誤差は $\mathbf{4.44\times10^{-16}}$ である。行列を二乗したのにスカラーが返るのは偶然ではなく $\gamma$ の代数の帰結で、ここでの平方根は取るものではなく作るものである。$\gamma$ の表現は一意でないので、個数を数えるより同値かどうかを問うほうが自然になる。時間の平方根は測る量である。乱歩の二乗平均は $t=4000$ で $\mathbf{63.301193}$、対数の傾きで測った指数は $\mathbf{0.502469}$ で、$\sqrt{t}$ を前提に置いて取り出したのではない。これは代数からではなく、独立な足し算の分散が加法的だという確率の性質から出る。論文294 が扱ったのがこの身分である。行列の平方根は一意でない。同じ共分散に対しコレスキー $[[2.000000,0],[0.750000,1.198958]]$ と対称平方根 $[[1.947200,0.456524],[0.456524,1.338501]]$ がどちらも $10^{-12}$ 以内で再現するのに、二つはフロベニウス距離で $\mathbf{0.562852}$ 離れている。白色化してから座標を読む場面では、選んだ平方根が座標を決める。論文375 が「第一主成分を選んでいるのは単位である」と示したのと同じ型である。符号の違いで二個という話でもない。直交行列を右から掛けた分だけ在るので、連続無限個である。関数の平方根は、置き場所でノルムでなくなる。$L^{2}$ は $c=2$ で $\mathbf{2.000000}$ 倍、$c=9$ で $\mathbf{9.000000}$ 倍と斉次だが、$\sqrt{\int|f|}$ は $\mathbf{1.414214}$ 倍、$\mathbf{3.000000}$ 倍にしかならない。私は書く前に三角不等式のほうが破れると予想したが、外れた。$\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}$ が常に成り立つので劣加法性は保たれ、破れるのは斉次性だけである。論文216 の「近さ」がこの $L^{2}$ で、その $\sqrt{}$ は斉次性のために置かれている。分離子は、何の平方根かである。数なら場所、作用素なら表現、時間なら測定、行列なら選び方、関数なら公理。問える性質が五つとも違う。論文300 の「量の持ち物」でいえば、数の平方根は場所を持ち物にし、行列の平方根は選び方を持ち物にする。持ち物を書かずに「平方根」と書けば、どれのことか決まらない。論文157 は「$2$」という数を点呼した。本稿は $\sqrt{}$ が何に掛かっているかで分けたので、同じ表の裏返しにはならない。正直に言えば、五つで尽きるとは書かない。数えたのは五つで、尽くしたと言うには尽くし方を先に決めなければならない。作用素論には立ち入らず、非有界作用素の平方根の存在と一意性は扱っていない。ディラック作用素は代数の見本として使い、量子力学の解釈もしていない。行列の平方根の計算法の速さや安定性も比べていないし、$L^{p}$ の一般論も述べていない。言えるのは、同じ記号が五つの別の演算の逆をたどっており、解の個数も一意性も五つとも違う、そこまでである。

参考文献

1. Dirac, P. A. M. (1928). The Quantum Theory of the Electron. Proceedings of the Royal Society A.
2. Einstein, A. (1905). Uber die von der molekularkinetischen Theorie der Warme geforderte Bewegung von in ruhenden Flussigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik.
3. Hamilton, W. R. (1847). On Quaternions (read 11 November 1844). Proceedings of the Royal Irish Academy.
4. Higham, N. J. (2008). Functions of Matrices: Theory and Computation. SIAM.
5. 山岸勇輝 (2026). 『二乗の点呼』[論文157]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22091931
6. 山岸勇輝 (2026). 『近づいているのに、一歩も近づいていない』[論文216]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22119579
7. 山岸勇輝 (2026). 『同じ「＝0」でも、解の集まりは五つの別の種類のものである』[論文236]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22129043
8. 山岸勇輝 (2026). 『分離は、長さの平方根でしか良くならない』[論文294]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171603
9. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
10. 山岸勇輝 (2026). 『第一主成分を選んでいるのは、データではなく単位である』[論文375]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22698703

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「同じ「平方根」が、五つの別のものに掛かっている」［論文531］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.23014103

@misc{yamagishi2026yoi531,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One and the Same Square Root Is Taken of Five Different Things},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/531},
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