YOI 539：歯数を決めたのは天文ではなく、連分数である

論文539 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/539 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014129）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文539】歯数を決めたのは天文ではなく、連分数である

@misc{yamagishi2026yoi539,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Fixed the Tooth Counts Was Not Astronomy but a Continued Fraction},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/539},
  doi = {10.5281/zenodo.23014129},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月21日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972369・972387・972391 に記録されました（2026年10月21日 04:31（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

惑星儀の歯車の歯数は、天体の周期から決まると思われている。本稿が示すのは、歯数を決めているのが連分数であり、精度と歯数のあいだの交換条件がそこで閉じていることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、比を連分数に開くと、近似分数の列が出る。$77708431/2640858=\mathbf{29.4254484717}$ の連分数は $[29,2,2,1,5,1,4,\dots]$ で、近似は $29/1$、$59/2$、$147/5$、$\mathbf{206/7}$ と続く（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ホイヘンスが刻んだ $\mathbf{206/7}$ は、その第 $\mathbf{4}$ 近似である。相対誤差 $\mathbf{1.061\times10^{-4}}$ で、分母 $7$ 以下を総当たりしても最良は同じ分数である（第2節・第3節）。

第三に、一段良くする代価が測れる。次の近似 $1177/40$ は誤差が $\mathbf{7.0}$ 分の $1$ に縮むが、歯数の和は $\mathbf{213}$ から $\mathbf{1217}$ へ $\mathbf{5.7}$ 倍になる（第4節）。

第四に、近似は等しく良いわけではない。$29/1$ の相対誤差 $\mathbf{1.446\times10^{-2}}$ から $147/5$ の $\mathbf{8.648\times10^{-4}}$ まで、一段ごとの縮み方が揃っていない（第2節）。

第五に、近似しにくい数もある。黄金比を分母 $7$ 以下で近似すると最良は $8/5$ で相対誤差 $\mathbf{1.115\times10^{-2}}$、土星の比の $\mathbf{105}$ 倍である（第5節）。

第六に、分離子は連分数の項の大きさである。大きい項の直前で急に良くなり、$1$ が続くと良くならない（第5節）。

キーワード：連分数、歯車の歯数、惑星儀、最良近似、ホイヘンス

Abstract

The tooth counts in a planetarium are taken to follow from the periods of the bodies.What this paper shows is that a continued fraction fixes them, and that the trade between accuracy and size closes there.No new theorem or law is claimed.

First, expanding the ratio yields a sequence of convergents、$77708431/2640858=\mathbf{29.4254484717}$ expands as $[29,2,2,1,5,1,4,\dots]$, with convergents $29/1$, $59/2$, $147/5$, $\mathbf{206/7}$ (Section 2).

Second, and this is the core.The $\mathbf{206/7}$ that Huygens cut is the $\mathbf{4}$th convergent、with a relative error of $\mathbf{1.061\times10^{-4}}$, and exhausting all denominators up to $7$ returns the same fraction (Sections 2 and 3).

Third, the price of one step better can be measured、the next convergent $1177/40$ shrinks the error to a $\mathbf{7.0}$th while raising the tooth total from $\mathbf{213}$ to $\mathbf{1217}$, a factor of $\mathbf{5.7}$ (Section 4).

Fourth, the convergents are not equally good、relative errors run from $\mathbf{1.446\times10^{-2}}$ at $29/1$ to $\mathbf{8.648\times10^{-4}}$ at $147/5$, shrinking unevenly (Section 2).

Fifth, some numbers resist approximation、the best fraction for the golden ratio with denominator at most $7$ is $8/5$, with relative error $\mathbf{1.115\times10^{-2}}$, some $\mathbf{105}$ times worse (Section 5).

Sixth, the separator is the size of the partial quotients、accuracy jumps just before a large one and stalls where ones run on (Section 5).

Keywords: continued fraction, gear tooth counts, orrery, best rational approximation, Huygens

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/539/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/539 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ