YOI 580：テストを長くして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているもののずれは減らない

論文580 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/580 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014337）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文580】テストを長くして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているもののずれは減らない

@misc{yamagishi2026yoi580,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Lengthening a Test Removes Only Chance Error, Not the Gap in What Is Measured},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/580},
  doi = {10.5281/zenodo.23014337},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

テストの信頼性が低いとき、「問題を増やせばよい」と言われる。本稿が示すのは、問題を増やして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているものと知りたいもののずれは長さでは一つも減らず、知りたいものとの相関は真の相関で頭打ちになることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、信頼性を上げるのに要る長さは急に増える。$0.5$ から $0.9$ へは $\mathbf{9.000000}$ 倍、$0.9$ から先の $0.99$ へは合わせて $\mathbf{99.000000}$ 倍である（第2節）。

第二に、信頼性は $1$ に届かない。$10000$ 倍にしても $\mathbf{0.99990001}$ で、$1$ との差は $\mathbf{0.00009999}$ である（第3節）。

第三に、長さにちょうど比例するのはオッズである。信頼性のオッズ $\rho/(1-\rho)$ は、$2$ 倍で $\mathbf{2.000000}$、$9$ 倍で $\mathbf{9.000000}$、$100$ 倍で $\mathbf{100.000000}$ で、長さの倍率に一致する（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。知りたいものとの相関は、真の相関で頭打ちになる。真の相関が $0.6$ なら、観測される相関は $1$ 倍で $\mathbf{0.424264}$、$9$ 倍で $\mathbf{0.569210}$、$100$ 倍で $\mathbf{0.597022}$ と上がるが、$0.6$ を超えることはない（第5節）。

第五に、知りたいもの側の物差しにも誤差があれば、頭打ちはさらに下がる。その信頼性が $0.7$ なら、頭打ちは $\mathbf{0.501996}$ である（第5節）。

第六に、分離子は、偶然の誤差か、測るもののずれか、である。長さで減るのは前者だけである（第6節）。

キーワード：古典的テスト理論、信頼性、スピアマン＝ブラウンの式、相関の希薄化、妥当性

Abstract

When a test’s reliability is low, the advice is “add more questions”.What this paper shows is that adding questions removes only chance error; the gap between what is measured and what is wanted is not reduced at all by length, and the correlation with what is wanted tops out at the true correlation.No new theorem or law is claimed.

First, the length needed for higher reliability rises steeply、from $0.5$ to $0.9$ takes $\mathbf{9.000000}$ times the length, and on to $0.99$ takes $\mathbf{99.000000}$ times in all (Section 2).

Second, reliability never reaches $1$、$10000$ times the length gives $\mathbf{0.99990001}$, short of $1$ by $\mathbf{0.00009999}$ (Section 3).

Third, what is exactly proportional to length is the odds、the odds of reliability $\rho/(1-\rho)$ are $\mathbf{2.000000}$ at twice the length, $\mathbf{9.000000}$ at nine times and $\mathbf{100.000000}$ at a hundred times, equal to the factor of length (Section 4).

Fourth, and this is the core.The correlation with what is wanted tops out at the true correlation、with a true correlation of $0.6$, the observed correlation is $\mathbf{0.424264}$ at the original length, $\mathbf{0.569210}$ at nine times and $\mathbf{0.597022}$ at a hundred times, and never exceeds $0.6$ (Section 5).

Fifth, if the measure of what is wanted has error too, the ceiling drops further、with its reliability at $0.7$, the ceiling is $\mathbf{0.501996}$ (Section 5).

Sixth, the separator is chance error against a gap in what is measured、length removes only the first (Section 6).

Keywords: classical test theory, reliability, Spearman-Brown formula, attenuation of correlation, validity

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/580/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/580 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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