【論文580】テストを長くして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているもののずれは減らない

要旨

テストの信頼性が低いとき、「問題を増やせばよい」と言われる。本稿が示すのは、問題を増やして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているものと知りたいもののずれは長さでは一つも減らず、知りたいものとの相関は真の相関で頭打ちになることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、信頼性を上げるのに要る長さは急に増える。$0.5$ から $0.9$ へは $\mathbf{9.000000}$ 倍、$0.9$ から先の $0.99$ へは合わせて $\mathbf{99.000000}$ 倍である（第2節）。

第二に、信頼性は $1$ に届かない。$10000$ 倍にしても $\mathbf{0.99990001}$ で、$1$ との差は $\mathbf{0.00009999}$ である（第3節）。

第三に、長さにちょうど比例するのはオッズである。信頼性のオッズ $\rho/(1-\rho)$ は、$2$ 倍で $\mathbf{2.000000}$、$9$ 倍で $\mathbf{9.000000}$、$100$ 倍で $\mathbf{100.000000}$ で、長さの倍率に一致する（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。知りたいものとの相関は、真の相関で頭打ちになる。真の相関が $0.6$ なら、観測される相関は $1$ 倍で $\mathbf{0.424264}$、$9$ 倍で $\mathbf{0.569210}$、$100$ 倍で $\mathbf{0.597022}$ と上がるが、$0.6$ を超えることはない（第5節）。

第五に、知りたいもの側の物差しにも誤差があれば、頭打ちはさらに下がる。その信頼性が $0.7$ なら、頭打ちは $\mathbf{0.501996}$ である（第5節）。

第六に、分離子は、偶然の誤差か、測るもののずれか、である。長さで減るのは前者だけである（第6節）。

キーワード：古典的テスト理論、信頼性、スピアマン＝ブラウンの式、相関の希薄化、妥当性。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。スピアマン＝ブラウンの式も、相関の希薄化の式も、古典的テスト理論の標準である。平行な問題を足すと仮定した。足す問題が、元の問題と同じものを同じ精度で測るという仮定である。性質の違う問題を足せば、測るもの自体が変わる。真の相関 $0.6$ と物差しの信頼性 $0.7$ は代表値である。どの試験がどの値かは述べない。受ける人の疲れや慣れを入れていない。実際に問題を $99$ 倍にすれば、それ自体が測るものを変える。試験を設計しない。どれだけの長さにすべきかは述べない。既刊との関係：論文334 は、独立な測りを重ねると、足しているのは値ではなく精度であると示した。本稿の「オッズが長さにちょうど比例する」はその言い換えで、同根である。本稿が加えるのはその先で、重ねて減るのは偶然の誤差だけだという点である。論文470 は射程注記で信頼性に触れ、精度 $99$ パーセントの検査でも陽性の九割が外れうると示した。検査の良さを一つの数で言うと、何に対する良さかが落ちる型が共通である。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。「長くすると信頼性が上がる」と「相関は真の相関で頭打ち」は別根である。加えたのは、目標の信頼性に要る長さを並べ、その長さで目標にちょうど戻ることを確かめたこと、信頼性は $1$ に届かないがオッズは長さにちょうど比例することを示したこと、知りたいものとの相関が真の相関 $0.6$ で頭打ちになり、物差しの誤差があれば $\mathbf{0.501996}$ まで下がることを出したこと、分離子を偶然の誤差と測るもののずれの区別に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：テストの点 $X$ を、真の点 $T$ と偶然の誤差 $E$ の和とする。信頼性は $\rho=\mathrm{Var}(T)/\mathrm{Var}(X)$ である。同じものを同じ精度で測る問題を足して長さを $n$ 倍にすると

$$\rho_n=\frac{n\rho}{1+(n-1)\rho},\qquad
\frac{\rho_n}{1-\rho_n}=n\,\frac{\rho}{1-\rho}$$

になる。知りたいもの $Y$ との観測される相関は、真の相関 $r_{TY}$ から

$$r_{XY}=r_{TY}\sqrt{\rho_X\,\rho_Y}$$

に薄まる。

観察 1.1　テストの信頼性が低いとき、「問題を増やせばよい」と言われる。それは正しい。問題は、増やすと何が減り、何が減らないかである。

問い：テストを長くすると、何が減り、何が減らないのか。

2. 長さと信頼性

計算 2.1：目標の信頼性に要る長さ（何倍にするか）を出した。

観察 2.2　その長さで、信頼性はちょうど目標に戻る（四つとも $10^{-12}$）。$0.5$ から $0.9$ へは $9$ 倍だが、そこから $0.99$ へはさらに $11$ 倍が要る。最後の桁ほど高くつく。

3. $1$ には届かない

計算 3.1：信頼性 $0.5$ のテストを長くしていった。

観察 3.2　信頼性は $1$ に近づくだけで、届かない。$1$ との差は長くするほど近似 $(1-\rho)/(n\rho)$ に寄り、$10000$ 倍では近似の $0.999$ 倍より大きく $1$ 倍より小さい。「もっと測れば正確になる」は正しいが、漸近しかしない。

4. 長さに比例するのはオッズ

計算 4.1：信頼性のオッズ $\rho/(1-\rho)$ を、長さの倍率と比べた（元のオッズは $1$）。

観察 4.2　オッズは長さにちょうど比例する（三つとも $10^{-9}$）。オッズは真の点の分散と誤差の分散の比で、問題を $n$ 倍にすると真の点の分散は $n^2$ 倍、誤差の分散は $n$ 倍になるからである。これは、独立な測りを重ねると精度が足し算になるという論文334 の結果の言い換えで、同根である。信頼性が $1$ に張り付いて見えるのは、上限のある量で見ているからで、オッズで見れば増え方は一様である。

5. 測っているもののずれ

計算 5.1：知りたいもの $Y$ との真の相関を $0.6$ とし、$Y$ は誤差なく測れるとして、テストを長くしていった。

観察 5.2　これが本稿の芯である。長くして減るのは偶然の誤差だけで、真の相関 $0.6$、つまり測っているものと知りたいもののずれは、長さでは一つも減らない。問題を $100$ 倍にしても相関は $0.597022$ で、$0.6$ の手前で止まる。残りの隔たりは誤差ではなく、測るものが違うことから来ている。

観察 5.3　知りたいもの側の物差しにも誤差があれば、頭打ちはさらに下がる。その信頼性が $0.7$ なら、テストをどれだけ長くしても観測される相関は $\mathbf{0.501996}$ を超えない。片方の物差しを磨いても、もう片方の誤差は残る。

観察 5.4　測定の標準誤差は、信頼性 $0.5$ で $\mathbf{0.707107}$、$0.9$ で $\mathbf{0.316228}$ である（点の標準偏差を $1$ とする）。長さを $9$ 倍にして、一人の点の揺れは半分より少し小さくなる。揺れは減るが、揺れの中心が知りたいものからずれていることは変わらない。

6. 分離子

観察 6.1　分離子は、偶然の誤差か、測るもののずれか、である。偶然の誤差は、同じものを繰り返し測ると平均で消えていく。測るもののずれは、何度測っても同じだけ残る。長さで減るのは前者だけである。

観察 6.2　論文334 と同根で、その先を言う。あちらは、独立な測りを重ねると精度が足し算になることを示した。本稿のオッズの比例はその言い換えである。本稿が加えるのは、重ねて足されるのは誤差に対する精度だけで、測るものを知りたいものに近づける力は持たない、という点である。

観察 6.3　論文470 と同じ型である。あちらでは、精度 $99$ パーセントの検査でも陽性の九割が外れえた。ここでも、信頼性 $0.99$ は「同じものを繰り返し測ったときの揃い方」であって、知りたいものとの近さではない。検査の良さを一つの数で言うと、何に対する良さかが落ちる。

観察 6.4　論文300 の基準では別根である。「長くすると信頼性が上がる」は誤差が平均で消えることから出る。「相関は真の相関で頭打ち」は、何を測っているかという定義から出る。根が違うので、片方をいくら進めても、もう片方は動かない。

観察 6.5　言わないこと。試験を設計しない。どれだけの長さにすべきかも述べない。示したのは、長さで買えるものと買えないものの区別だけである。

7. 点呼と結び

1. $0.5$ から $0.9$ へ $\mathbf{9.000000}$ 倍（計算 2.1）：その長さでちょうど目標に戻る。
2. $0.99$ へは $\mathbf{99.000000}$ 倍（計算 2.1）：最後の桁ほど高い。
3. $10000$ 倍で $\mathbf{0.99990001}$（計算 3.1）：$1$ には届かない。
4. オッズは長さにちょうど比例（計算 4.1）：論文334 と同根。
5. 観測される相関 $\mathbf{0.424264}$ から $\mathbf{0.569210}$ へ（計算 5.1）：長くすれば上がる。
6. それでも $0.6$ で頭打ち（観察 5.2）：本稿の芯。
7. 物差しの信頼性 $0.7$ なら $\mathbf{0.501996}$（観察 5.3）：もう片方の誤差は残る。
8. 標準誤差 $\mathbf{0.707107}$ から $\mathbf{0.316228}$ へ（観察 5.4）：揺れは減るが中心はずれたまま。
9. 分離子は偶然の誤差か測るもののずれか（観察 6.1）：長さで減るのは前者だけ。
10. 論文470 と同じ型（観察 6.3）：何に対する良さかが落ちる。

結び：テストの信頼性が低いとき、「問題を増やせばよい」と言われ、それは正しい。ただし増やして減らせるのは偶然の誤差だけである。信頼性 $0.5$ を $0.9$ にするには長さを $\mathbf{9.000000}$ 倍、$0.99$ には $\mathbf{99.000000}$ 倍にする必要があり、$10000$ 倍にしても $\mathbf{0.99990001}$ で $1$ には届かない。長さにちょうど比例するのは信頼性ではなくそのオッズで、それは独立な測りを重ねると精度が足し算になるという論文334 の結果と同根である。知りたいものとの相関は、真の相関で頭打ちになる。真の相関が $0.6$ なら、観測される相関は $\mathbf{0.424264}$ から $\mathbf{0.569210}$、$\mathbf{0.597022}$ と上がるが、どれだけ長くしても $0.6$ を超えない。知りたいもの側の物差しの信頼性が $0.7$ なら、頭打ちは $\mathbf{0.501996}$ まで下がる。測定の標準誤差は $\mathbf{0.707107}$ から $\mathbf{0.316228}$ へ減るが、揺れの中心が知りたいものからずれていることは変わらない。分離子は、偶然の誤差か、測るもののずれか、である。偶然の誤差は繰り返すと平均で消え、測るもののずれは何度測っても残る。論文300 の基準で二つは別根で、長くしても後者は動かない。既刊との位置、論文334 と同根で、重ねて足されるのは誤差に対する精度だけだという、その先を言った。論文470 と同じく、検査の良さを一つの数で言うと、何に対する良さかが落ちる。正直に言えば、平行な問題を足すと仮定し、受ける人の疲れも慣れも入れていない。真の相関と物差しの信頼性は代表値である。そして試験は設計しない。示したのは、長さで買えるものと買えないものの区別である。

参考文献

1. Brown, W. (1910). Some Experimental Results in the Correlation of Mental Abilities. British Journal of Psychology.
2. Lord, F. M., & Novick, M. R. (1968). Statistical Theories of Mental Test Scores. Addison-Wesley.
3. Spearman, C. (1910). Correlation Calculated from Faulty Data. British Journal of Psychology.
4. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
5. 山岸勇輝 (2026). 『足しているのは値ではなく、精度である』[論文334]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22681804
6. 山岸勇輝 (2026). 『精度九十九パーセントの検査でも、陽性の九割は外れることがある』[論文470]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733434

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「テストを長くして減らせるのは偶然の誤差だけで、測っているもののずれは減らない」［論文580］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.23014337

@misc{yamagishi2026yoi580,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Lengthening a Test Removes Only Chance Error, Not the Gap in What Is Measured},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/580},
  doi = {10.5281/zenodo.23014337},
  note = {Preprint, edition 1}
}