YOI 606：5×5 のライツアウトで消せる点灯の型は、四つに一つしかない

論文606 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/606 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014452）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi606,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Only One Light Pattern in Four Can Be Switched Off on a 5×5 Lights Out Board},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/606},
  doi = {10.5281/zenodo.23014452},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ライツアウトは、格子に並んだ明かりのどれかを押すと、その明かりと上下左右の明かりが点いたり消えたり反転する遊びである。与えられた点灯の型を、押して全部消せるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$5\times5$ で消せる型は四つに一つである。二を法とする掃き出しで押し方の表の階数を求めると $23$ で、消せる型は $2^{23}=8388608$ 通り、全部の型 $2^{25}$ の $\mathbf{0.250000}$ である。押し方 $2^{25}$ 通りを全部試してできる型を数えても、同じ $8388608$ 通りだった（第2節・第3節）。

第二に、押しても何も変わらない押し方がある。$5\times5$ には、$16$ か所または $12$ か所を押して、盤が元のままに戻る押し方が $3$ 通りある。これがあるので、押し方 $2^{25}$ 通りは $4$ 通りずつ同じ型を作り、できる型は四分の一に減る（第4節）。

第三に、これが本稿の芯である。消せる型は、何も変えない押し方と偶数個ずつ重なる型にちょうど一致する。$2^{25}$ 通りの型すべてで、全部試して消せた型と、この条件を満たす型が一つ残らず一致した。左上の一つだけが点いた型は、何も変えない押し方の一つと $1$ 個だけ重なるので消せない。全部点いた型は消せ、押し方は $4$ 通りでどれも $15$ か所を押す（第4節）。

第四に、分離子は盤の大きさで、単調ではない。$1$ から $20$ の盤で、何も変えない押し方の次元は $4\times4$ で $4$、$5\times5$ で $2$、$9\times9$ で $8$、$11\times11$ で $6$、$14\times14$ で $4$、$16\times16$ で $8$、$17\times17$ で $2$、$19\times19$ で $16$ で、そのほかの $12$ の大きさでは $0$（どの型も消せる）だった（第5節）。

第五に、見張る量の数が、届かない割合を決める。15 パズルでは見張る量が一つで、届くのは半分だった。$5\times5$ のライツアウトでは見張る量が二つで、消せるのは四つに一つである（第5節）。

キーワード：ライツアウト、二を法とする線形代数、パズル、零空間、盤の大きさ

Abstract

Lights Out is a game on a grid of lights in which pressing a light flips it and the lights above, below, left and right.It is counted which light patterns can be switched off entirely by pressing.No new theorem or law is claimed.

First, on $5\times5$ one pattern in four can be switched off、elimination modulo two gives the rank $23$ for the table of presses, so $2^{23}=8388608$ patterns can be cleared, a share $\mathbf{0.250000}$ of all $2^{25}$. Trying all $2^{25}$ ways of pressing and counting the patterns made gave the same $8388608$ (Sections 2 and 3).

Second, there are ways of pressing that change nothing、on $5\times5$ there are $3$ ways, pressing $16$ or $12$ squares, that leave the board as it was. Because of them, the $2^{25}$ ways of pressing make each pattern $4$ times, and the patterns made are cut to a quarter (Section 4).

Third, and this is the core.The patterns that can be switched off are exactly those meeting each do-nothing press in an even number of lights、over all $2^{25}$ patterns, those cleared by trying everything and those meeting this condition agreed without exception. The pattern with only the top-left light on meets one do-nothing press in $1$ light and cannot be cleared. The all-on pattern can, in $4$ ways, each pressing $15$ squares (Section 4).

Fourth, the separator is the size of the board, and it is not monotone、for boards from $1$ to $20$, the dimension of the do-nothing presses is $4$ for $4\times4$, $2$ for $5\times5$, $8$ for $9\times9$, $6$ for $11\times11$, $4$ for $14\times14$, $8$ for $16\times16$, $2$ for $17\times17$ and $16$ for $19\times19$, and $0$ (every pattern can be cleared) for the other $12$ sizes (Section 5).

Fifth, the number of quantities watched decides the share out of reach、in the fifteen puzzle one quantity is watched and half is reachable. On the $5\times5$ Lights Out board two are watched, and one pattern in four can be cleared (Section 5).

Keywords: Lights Out, linear algebra over GF(2), puzzle, null space, board size

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/606/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/606 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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