YOI 607：三目並べで先手が勝つ割合は、何を等しいと置くかで三つに分かれる

論文607 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/607 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014454）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi607,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {How Often the First Player Wins at Tic-Tac-Toe Splits Three Ways by What Is Taken as Equal},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/607},
  doi = {10.5281/zenodo.23014454},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

三目並べは、$3\times3$ のますに二人が交互に印を置き、縦・横・斜めのどれかに自分の印を三つ並べた方が勝つ遊びである。「先手はどれだけ勝つか」を、三つの数え方で出す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、手順を等しく数えると、先手の勝ちは $\mathbf{0.514108}$ である。勝負がついた所で止める手順は $255168$ 通りで、先手の勝ち $131184$、後手の勝ち $77904$、引き分け $46080$ だった（第2節）。

第二に、でたらめに打つと、先手の勝ちは $\mathbf{0.584921}$ である。二人とも空いたますから等しい確率で選ぶと、先手の勝ちは正確に $737/1260$、後手は $121/420=0.288095$、引き分けは $8/63=0.126984$ だった。乱数で $200000$ 局打たせると先手の勝ちは $0.584060$ で、式との差は $0.000861$ だった（第3節）。

第三に、二人とも最善を尽くすと、先手の勝ちは $0$ である。初めの局面の値は引き分けで、初手を $9$ か所のどこに打っても引き分けだった（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。三つの数は、何を等しいと置くかの違いである。手順を一本ずつ等しく数えるか、一手ごとに空いたますを等しく選ぶか、互いに最善を選ぶか。でたらめに打つと、短く終わる手順ほど確率が大きく、先手の勝ちは早く決まるので、手順で数えたときより大きくなる（第5節）。

第五に、最善の側では、応手が一つ間違うだけで負ける。先手が角に打つと、後手の $8$ か所の応手のうち $7$ か所は負けに落ち、引き分けに残るのは中央だけである。先手が中央に打つと、辺の $4$ か所が負けに落ちる（第4節）。

キーワード：三目並べ、ゲーム木、先手の勝率、最善手、数え方の重み

Abstract

In tic-tac-toe two players take turns marking a $3\times3$ grid, and whoever gets three marks in a row, column or diagonal wins.“How often does the first player win” is answered by three ways of counting.No new theorem or law is claimed.

First, counting move sequences equally, the first player wins $\mathbf{0.514108}$、the sequences stopped when the game is decided number $255168$: $131184$ first-player wins, $77904$ second-player wins and $46080$ draws (Section 2).

Second, playing at random, the first player wins $\mathbf{0.584921}$、if both choose uniformly among the empty squares, the first player wins with probability exactly $737/1260$, the second with $121/420=0.288095$, and the game is drawn with $8/63=0.126984$. Playing $200000$ random games gave $0.584060$ for the first player, a difference of $0.000861$ from the formula (Section 3).

Third, with best play on both sides, the first player wins $0$、the value of the opening position is a draw, and every one of the $9$ first moves leads to a draw (Section 4).

Fourth, and this is the core.The three numbers differ in what is taken as equal、each sequence counted as one, each empty square equally likely at every move, or the best move on both sides. Playing at random, shorter sequences are more probable, and since first-player wins are decided early, their share is larger than when sequences are counted (Section 5).

Fifth, on the side of best play, one wrong reply loses、if the first player takes a corner, $7$ of the second player’s $8$ replies lose and only the centre keeps the draw. If the first player takes the centre, the $4$ edges lose (Section 4).

Keywords: tic-tac-toe, game tree, first-player win rate, optimal play, weighting of counts

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/607/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/607 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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