YOI 609：五十種類を揃える回数の二割強は、最後の一種類を待つ時間である

論文609 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/609 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014464）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi609,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {More Than a Fifth of the Draws Needed to Collect Fifty Kinds Are Spent Waiting for the Last One},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/609},
  doi = {10.5281/zenodo.23014464},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$n$ 種類の景品が等しい確率で一つずつ出るとき、全部を揃えるには何回引けばよいか（クーポン収集の問題）。その回数が、どこで費やされているかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$50$ 種類を揃える回数の期待値は $\mathbf{224.960267}$ 回である。すでに $j$ 種類持っているとき、新しい種類が出るまでの期待値は $50/(50-j)$ 回で、それを足すと $50$ に $1+1/2+\cdots+1/50$ を掛けた値になる。乱数で $20000$ 回揃えさせると平均は $225.598950$ 回で、式との差は標準誤差の $1.5$ 倍以内だった（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。そのうち二割強は、最後の一種類を待つ時間である。残り一種類になってから出るまでの期待値は $50$ 回で、全体の $\mathbf{0.222261}$ を占める。$10$ 種類なら $0.341417$、$100$ 種類なら $0.192776$ で、種類が増えても割合はゆっくりしか減らない（第2節）。

第三に、全体と最後の一種類では、ばらつきの形が違う。全体の中央値は $215$ 回で期待値の $\mathbf{0.955724}$ 倍と近いが、最後の一種類だけを待つ時間の中央値は $35$ 回で、期待値 $50$ 回の $0.70$ 倍である。一つの待ち時間では中央値が期待値の $\ln2$ 倍ほどになり、多くの待ち時間を足すと $1$ 倍に近づく（第3節）。

第四に、分離子は、いちばん出にくい一種類である。$49$ 種類は重み $1$、一種類だけ重みを $0.1$ にすると、その一種類の確率は $0.002037$、それだけを待つ期待値は $491$ 回になり、全部揃う期待値は $536.096370$ 回、等しいときの $\mathbf{2.383071}$ 倍になる。積分の式と乱数が、重み $1$・$0.5$・$0.2$・$0.1$ のどれでも合った（第4節）。

キーワード：クーポン収集問題、調和数、期待値、最後の一種類、中央値

Abstract

When $n$ kinds of prize come out one at a time with equal probability, how many draws are needed to collect them all (the coupon collector’s problem)?Where those draws are spent is counted.No new theorem or law is claimed.

First, collecting $50$ kinds takes $\mathbf{224.960267}$ draws on average、holding $j$ kinds, a new kind takes $50/(50-j)$ draws on average, and the sum is $50$ times $1+1/2+\cdots+1/50$. Collecting $20000$ times with random numbers gave a mean of $225.598950$, within $1.5$ standard errors of the formula (Section 2).

Second, and this is the core.More than a fifth of it is spent waiting for the last kind、once one kind remains, it takes $50$ draws on average, $\mathbf{0.222261}$ of the whole. With $10$ kinds the share is $0.341417$, with $100$ kinds $0.192776$; it falls only slowly as the kinds increase (Section 2).

Third, the whole and the last kind spread differently、the median of the whole is $215$ draws, $\mathbf{0.955724}$ times the mean, close to it, but the median wait for the last kind alone is $35$ draws, $0.70$ times its mean of $50$. For a single wait the median is about $\ln2$ times the mean; adding many waits brings the ratio near $1$ (Section 3).

Fourth, the separator is the least likely kind、with $49$ kinds of weight $1$ and one of weight $0.1$, that kind has probability $0.002037$, waiting for it alone takes $491$ draws on average, and collecting everything takes $536.096370$, $\mathbf{2.383071}$ times the equal case. The integral formula and random collection agreed for weights $1$, $0.5$, $0.2$ and $0.1$ (Section 4).

Keywords: coupon collector's problem, harmonic numbers, expected value, last coupon, median

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/609/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/609 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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