YOI 610：借りるか買うかの最悪の損は、買う日を運に任せると小さくなる

論文610 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/610 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014466）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi610,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Worst Loss in Renting or Buying Shrinks When the Day of Purchase Is Left to Chance},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/610},
  doi = {10.5281/zenodo.23014466},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

スキー板は一日 $1$ で借りられ、$B$ で買える。何日滑るかは、滑り終えるまで分からない。払った額を、日数を知っていたら払えた最小の額（$B$ 日未満なら借り続けた額、$B$ 日以上なら買った額）と比べ、その比の最悪の値を「最悪の損」と呼ぶ。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、決めた日に買う方法では、最悪の損は $2-1/B$ 倍より小さくできない。$B=10$ で、何日借りてから買うかを $0$ 日から $59$ 日まで全部試すと、最悪の損は $0$ 日で $10$ 倍、$5$ 日で $2.5$ 倍、$9$ 日で最小の $1.9$ 倍、$10$ 日で $2$ 倍、$30$ 日で $4$ 倍だった（第2節）。

第二に、買う日を運に任せると、最悪の損が下がる。$B=10$ では、$1$ 日目から $10$ 日目のどこで買うかを、後の日ほど重く $0.059482$ から $0.153534$ の確率で選ぶと、最悪の損は $\mathbf{1.535340}$ 倍になる。$B=2$ で $1.333333$、$B=3$ で $1.421053$、$B=100$ で $1.577368$ で、決めた日の方法の $1.5$・$1.666667$・$1.99$ をいつも下回る（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は、相手がこちらの選びを知っているかどうかである。決めた日に買うなら、相手はちょうどその日で滑るのをやめさせて損を最大にできる。運に任せると、相手は確率しか知らず、どの日数を選んでも損の倍率が同じ $1.535340$ になる（$1$ 日から $10$ 日のすべてで差 $10^{-12}$ 以内）（第3節）。

第四に、式と探索が合った。最悪の損の式 $1/(1-(1-1/B)^B)$ は、確率を全部の日数で評価した値と $B=2,3,5,10,100$ で $10^{-9}$ 以内で一致した。$B=2$ と $3$ では、確率を格子で探しても、式より小さい最悪の損は見つからなかった（第4節）。

第五に、$B$ が大きいと $e/(e-1)$ に近づく。$(1-1/B)^B$ が $1/e$ に近づくからで、論文479 が $1/e$ の出どころを分けた組でいえば、二つ目の組（二項からポアソンへの極限）に入る（第4節）。

キーワード：借りるか買うかの問題、競合比、オンラインアルゴリズム、乱択アルゴリズム、e/(e-1)

Abstract

Skis can be rented for $1$ a day or bought for $B$. How many days one will ski is not known until the skiing is over.The amount paid is compared with the least one could have paid knowing the number of days (renting throughout if under $B$ days, buying if $B$ or more), and the worst value of that ratio is called the worst loss.No new theorem or law is claimed.

First, buying on a fixed day, the worst loss cannot go below $2-1/B$ times、for $B=10$, trying every number of rental days before buying from $0$ to $59$, the worst loss was $10$ times for $0$ days, $2.5$ for $5$, the minimum $1.9$ for $9$, $2$ for $10$, and $4$ for $30$ (Section 2).

Second, leaving the day of purchase to chance lowers the worst loss、for $B=10$, choosing the day of purchase among days $1$ to $10$ with probabilities from $0.059482$ to $0.153534$, heavier for later days, gives a worst loss of $\mathbf{1.535340}$ times. For $B=2$ it is $1.333333$, for $B=3$ $1.421053$, for $B=100$ $1.577368$, always below the fixed-day values $1.5$, $1.666667$ and $1.99$ (Section 3).

Third, and this is the core.The separator is whether the opponent knows one’s choice、buying on a fixed day, the opponent can end the skiing exactly on that day and make the loss largest. Left to chance, the opponent knows only the probabilities, and whatever number of days is chosen the loss ratio is the same $1.535340$ (within $10^{-12}$ for every day from $1$ to $10$) (Section 3).

Fourth, the formula and the search agree、the formula $1/(1-(1-1/B)^B)$ for the worst loss agreed within $10^{-9}$ with the value obtained by evaluating the probabilities over all numbers of days for $B=2,3,5,10,100$. For $B=2$ and $3$, searching the probabilities on a grid found no worst loss below the formula (Section 4).

Fifth, for large $B$ it approaches $e/(e-1)$、because $(1-1/B)^B$ approaches $1/e$; in the grouping of the sources of $1/e$ made by Paper 479, it belongs to the second group, the limit from binomial to Poisson (Section 4).

Keywords: ski rental problem, competitive ratio, online algorithm, randomised algorithm, e/(e-1)

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/610/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/610 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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