YOI 611：扉を替えて当たる確率は、司会者がどう開けるかで決まる

論文611 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/611 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014472）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi611,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Chance of Winning by Switching Doors Is Decided by How the Host Opens Them},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/611},
  doi = {10.5281/zenodo.23014472},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

三つの扉の一つに車、残る二つにヤギがいる。挑戦者が一つを選ぶと、司会者が残りの二つから一つを開けてヤギを見せ、挑戦者に扉を替えるかを尋ねる（モンティ・ホールの問題）。替えて当たる確率を、司会者の開け方ごとに数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、司会者が知っていれば、替えて当たるのは $2/3$ である。車の位置と司会者の開け方の場合を分数で数え上げると、替えて $2/3$、そのままで $1/3$ だった。乱数で $200000$ 回試すと、替えて当たったのは $0.666915$ だった（第2節）。

第二に、司会者が知らずに開けたなら、替えても $1/2$ である。司会者が残りの二つから等しく一つを開け、たまたまヤギだった場合だけを数えると、替えてもそのままでも $1/2$ だった。乱数では、車を開けてしまった回を除いた $133400$ 回のうち $0.500435$ が替えて当たった（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は、扉ではなく司会者の開け方の規則である。同じ扉が同じように開いて同じヤギが見えても、司会者が知っていたか、知らなかったかで答が変わる。開いた扉が伝えるのは、ヤギの位置ではなく、司会者がそれを選んだという事実である（第3節）。

第四に、司会者に癖があると、答は $1/2$ から $1$ まで動く。外れの扉が二つあるとき、司会者が扉 $2$ を確率 $q$ で開けるとする。扉 $2$ が開いたとき替えて当たる確率は $1/(1+q)$ で、$q=0$ なら $1$、$q=1/4$ なら $4/5$、$q=3/4$ なら $4/7$、$q=1$ なら $1/2$ だった（第3節）。

第五に、扉が多いと差は大きくなる。扉が $n$ 枚で、司会者が外れを $n-2$ 枚開けるなら、替えて当たるのは $(n-1)/n$ で、$100$ 枚なら $0.99$ である（第3節）。

キーワード：モンティ・ホール問題、条件付き確率、司会者の規則、ベイズの定理、確率の逆説

Abstract

A car is behind one of three doors and goats behind the other two. The contestant picks one; the host opens one of the other two to show a goat and asks whether the contestant wants to switch (the Monty Hall problem).The chance of winning by switching is counted for each way the host may open a door.No new theorem or law is claimed.

First, if the host knows, switching wins $2/3$、enumerating as fractions the cases of the car’s position and the host’s choice, switching wins $2/3$ and staying $1/3$. In $200000$ random trials, switching won $0.666915$ (Section 2).

Second, if the host opened without knowing, switching wins $1/2$、counting only the cases in which the host opens one of the other two doors at random and a goat happens to appear, switching and staying each win $1/2$. In random trials, of the $133400$ that remained after removing those where the car was revealed, switching won $0.500435$ (Section 2).

Third, and this is the core.The separator is not the door but the host’s rule for opening、the same door opening in the same way to show the same goat gives different answers depending on whether the host knew. What the open door conveys is not where the goat is but the fact that the host chose it (Section 3).

Fourth, a host with a habit moves the answer from $1/2$ to $1$、suppose that with two losing doors the host opens door $2$ with probability $q$. The chance of winning by switching when door $2$ opens is $1/(1+q)$: $1$ for $q=0$, $4/5$ for $q=1/4$, $4/7$ for $q=3/4$ and $1/2$ for $q=1$ (Section 3).

Fifth, with more doors the difference grows、with $n$ doors, if the host opens $n-2$ losing doors, switching wins $(n-1)/n$, which is $0.99$ for $100$ doors (Section 3).

Keywords: Monty Hall problem, conditional probability, host's rule, Bayes' theorem, probability paradox

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/611/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/611 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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