YOI 612：先頭の数字が 1 になるのは三割だが、それは桁をまたいで広がるデータだけである

論文612 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/612 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014476）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi612,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Leading Digit Is 1 Three Times in Ten, but Only for Data Spread Across Many Orders of Magnitude},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/612},
  doi = {10.5281/zenodo.23014476},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

数の一覧で、先頭の数字（いちばん上の桁）が $1$ から $9$ のどれになるかを数えると、$1$ が約三割、$9$ が五パーセント足らずになることが多い（ベンフォードの法則）。それがどんなデータで成り立ち、どんなデータで成り立たないかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$2$ の冪は、ベンフォードの法則にぴったり従う。$2^{n}$ を $n=1$ から $10000$ まで正確な整数で計算して先頭の数字を数えると、$1$ が $3010$ 回（$0.301000$）、$9$ が $458$ 回で、$\log_{10}(1+1/d)$ との差は九つの数字すべてで $\mathbf{0.000092}$ 以内だった。フィボナッチ数（初めの $5000$ 個）でも差は $0.000347$ 以内だった（第2節）。

第二に、全部を同じ数倍しても、分布は変わらない。$2^{n}$ をすべて $3$ 倍すると、先頭が $1$ の割合はやはり $0.301000$ で、差の最大は $0.000108$ だった（第3節）。

第三に、桁をまたがないデータは従わない。$1$ 以上 $10$ 未満の一様な数では先頭が $1$ の割合は $0.110675$（$1/9$ に近い）で、それを $2$ 倍すると $0.554595$ に変わる。平均 $170$ cm の身長ではほぼ全部（$0.999985$）が $1$ である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。分離子は、データが桁をまたいで広がるかどうかである。$0$ から $1$ の一様な数を $20$ 個掛けた積は $17$ 桁あまりに広がり、先頭が $1$ の割合は $0.300080$ だった。桁の目盛り（対数）で見て一様に広がるデータは、何倍しても分布が変わらず、$\log_{10}(1+1/d)$ に従う。$1$ 桁に収まる一様な数や、$0.170$ 桁しか広がらない身長は従わない（第4節）。

キーワード：ベンフォードの法則、先頭の数字、尺度不変性、対数の一様分布、桁の広がり

Abstract

Counting which of $1$ to $9$ is the leading digit (the top digit) in a list of numbers often gives about three in ten for $1$ and under five per cent for $9$ (Benford’s law).For which data it holds, and for which it does not, is counted.No new theorem or law is claimed.

First, powers of $2$ follow Benford’s law closely、computing $2^{n}$ exactly as integers for $n=1$ to $10000$ and counting leading digits, $1$ appears $3010$ times ($0.301000$) and $9$ appears $458$ times, within $\mathbf{0.000092}$ of $\log_{10}(1+1/d)$ for all nine digits. The first $5000$ Fibonacci numbers also stay within $0.000347$ (Section 2).

Second, multiplying everything by the same number leaves the distribution unchanged、multiplying all $2^{n}$ by $3$, the share with leading digit $1$ is still $0.301000$, with a largest difference of $0.000108$ (Section 3).

Third, data that do not span orders of magnitude do not follow it、uniform numbers from $1$ to below $10$ give $0.110675$ for leading digit $1$ (close to $1/9$), and doubling them changes it to $0.554595$. Heights averaging $170$ cm give almost all ($0.999985$) leading digit $1$ (Section 4).

Fourth, and this is the core.The separator is whether the data spread across orders of magnitude、products of $20$ uniform numbers from $0$ to $1$ spread over more than $17$ orders of magnitude and give $0.300080$ for leading digit $1$. Data spread evenly on the scale of digits (the logarithm) keep their distribution under any multiplication and follow $\log_{10}(1+1/d)$; uniform numbers within one order, or heights spread over only $0.170$ of an order, do not (Section 4).

Keywords: Benford's law, leading digit, scale invariance, logarithmic uniformity, spread over orders of magnitude

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/612/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/612 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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