YOI 622：数字を並べ替えて引く操作は、4 桁なら 6174 に着き、5 桁では着く先が無い

論文622 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/622 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014520）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi622,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Sorting Digits and Subtracting Reaches 6174 for Four Digits, and Reaches No Fixed Point for Five},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/622},
  doi = {10.5281/zenodo.23014520},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

数の各桁の数字を大きい順に並べた数から、小さい順に並べた数を引く。その差にまた同じことをくり返す（カプレカーの操作）。桁の数ごとに、どこへ行き着くかを、全部の出発点で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、4 桁はどこから始めても $6174$ に着く。同じ数字だけの数を除く $9990$ 個すべてが、多くとも $7$ 手で $6174$ に着いた。$6174$ は $7641-1467=6174$ で、自分に戻る。いちばん多いのは $3$ 手（$2400$ 個）、次が $7$ 手（$2184$ 個）である（第2節）。

第二に、3 桁は $495$ に着く。$990$ 個すべてが多くとも $6$ 手で $495$ に着いた（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。5 桁と 2 桁には、着く先が無い。5 桁の $99990$ 個は、四つの数を回る輪二つ（$48480$ 個と $48320$ 個）と、二つの数を回る輪一つ（$3190$ 個）に分かれ、どれも同じ数に止まらない。2 桁の $90$ 個は、$9$・$81$・$63$・$27$・$45$ を回る輪に入る（第2節）。

第四に、着く先は、数字の組み合わせから直接探せる。並べ替えた大小の差が、もとの数字の組み合わせに戻る組み合わせを探すと、3 桁は $495$、4 桁は $6174$、6 桁は $549945$ と $631764$ で、5 桁と 2 桁には一つも無かった。回して見つけた着く先と一致した（第3節）。

第五に、分離子は、桁の数である。同じ操作でも、3 桁と 4 桁では一つの数に着き、5 桁と 2 桁では輪を回り、6 桁では二つの数と一つの輪に分かれる（第4節）。

キーワード：カプレカーの操作、6174、不動点、輪、数字の並べ替え

Abstract

Arrange the digits of a number in descending order and subtract the number with them in ascending order; repeat on the difference (Kaprekar’s routine).For each number of digits, where it ends up is counted over all starting points.No new theorem or law is claimed.

First, four digits reach $6174$ from every start、all $9990$ numbers other than repdigits reached $6174$ within $7$ steps. $6174$ returns to itself: $7641-1467=6174$. The most common count is $3$ steps ($2400$ numbers), then $7$ steps ($2184$) (Section 2).

Second, three digits reach $495$、all $990$ numbers reached $495$ within $6$ steps (Section 2).

Third, and this is the core.Five and two digits have nowhere to stop、the $99990$ five-digit numbers split into two cycles of four numbers ($48480$ and $48320$) and one cycle of two ($3190$), none stopping at a single number. The $90$ two-digit numbers enter the cycle through $9$, $81$, $63$, $27$, $45$ (Section 2).

Fourth, the fixed points can be found directly from digit combinations、searching for digit combinations whose sorted difference returns the same combination gives $495$ for three digits, $6174$ for four, $549945$ and $631764$ for six, and none for five or two. They matched the fixed points found by running the routine (Section 3).

Fifth, the separator is the number of digits、the same routine stops at one number for three and four digits, circles for five and two, and splits into two numbers and a cycle for six (Section 4).

Keywords: Kaprekar's routine, 6174, fixed point, cycle, digit rearrangement

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/622/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/622 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ