YOI 623：読み上げ数列の長さは、種によらず毎回約 1.3036 倍になる

論文623 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/623 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014522）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi623,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Look-and-Say Sequence Grows by About 1.3036 Each Step, Whatever the Seed},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/623},
  doi = {10.5281/zenodo.23014522},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

前の項を「どの数字が何個続くか」と読み上げて次の項を作る数列を考える。$1$ から始めると $1,11,21,1211,111221,\ldots$ と続く（読み上げ数列）。その長さがどう伸びるかを、種（最初の項）を替えて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、長さは毎回約 $1.3036$ 倍に伸びる。種 $1$ から、第 $10$ 項は $26$ 桁、第 $30$ 項は $5808$ 桁、第 $51$ 項は $1520986$ 桁になる。十項ならした倍率（第 $51$ 項の長さを第 $41$ 項の長さで割り、$10$ 乗根をとったもの）は $\mathbf{1.303610}$ である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。倍率は、種によらない。種を $3$・$123$・$1113$ に替えても、十項ならした倍率は $1.303747$・$1.303682$・$1.303475$ で、どれもコンウェイの定数 $1.303577$ から $\mathbf{0.000170}$ 以内に揃った。長さそのものは種で違う（第 $51$ 項で $1520986$ から $4070770$）が、伸び方は同じである（第3節）。

第三に、一項ごとの倍率は揺れる。第 $51$ 項と第 $50$ 項の比は、四つの種で $1.302897$ から $1.303918$ まで $0.001021$ ばらつく。十項ならすとばらつきは $0.000272$ に縮む（第3節）。

第四に、種 $22$ だけは動かない。$22$ は「$2$ が二つ」と読めて $22$ に戻る。長さは何項たっても $2$ である（第4節）。

第五に、種 $1$ からは $1$・$2$・$3$ しか現れない。第 $40$ 項まで調べて、$4$ 以上の数字は一度も出なかった。同じ数字が四つ続くことが起きないからである（第4節）。

キーワード：読み上げ数列、コンウェイ定数、成長率、分解の定理、数列

Abstract

Consider the sequence whose next term is made by reading the previous one aloud as “how many of which digit”. Starting from $1$ it runs $1,11,21,1211,111221,\ldots$ (the look-and-say sequence).How its length grows is counted for several seeds (first terms).No new theorem or law is claimed.

First, the length grows by about $1.3036$ each step、from the seed $1$, term $10$ has $26$ digits, term $30$ has $5808$ and term $51$ has $1520986$. The ratio averaged over ten terms (the length of term $51$ divided by that of term $41$, to the power $1/10$) is $\mathbf{1.303610}$ (Section 2).

Second, and this is the core.The ratio does not depend on the seed、changing the seed to $3$, $123$ or $1113$, the ratio averaged over ten terms is $1.303747$, $1.303682$ and $1.303475$, all within $\mathbf{0.000170}$ of Conway’s constant $1.303577$. The lengths themselves differ by seed (from $1520986$ to $4070770$ at term $51$), but the growth is the same (Section 3).

Third, the ratio from one term to the next wobbles、the ratio of term $51$ to term $50$ ranges over the four seeds from $1.302897$ to $1.303918$, a spread of $0.001021$. Averaging over ten terms shrinks the spread to $0.000272$ (Section 3).

Fourth, only the seed $22$ never moves、$22$ reads as “two $2$s” and returns to $22$; its length stays $2$ for every term (Section 4).

Fifth, from the seed $1$ only $1$, $2$ and $3$ appear、checking up to term $40$, no digit $4$ or higher ever appeared, because four equal digits in a row never occur (Section 4).

Keywords: look-and-say sequence, Conway's constant, growth rate, splitting theorem, integer sequence

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/623/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/623 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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