YOI 625：マスの数が奇数の盤には、ナイトが最初のマスへ戻る巡回が無い

論文625 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/625 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014535）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi625,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {On a Board with an Odd Number of Squares, No Knight's Tour Returns to Its Start},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/625},
  doi = {10.5281/zenodo.23014535},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

チェスのナイトは、縦に $2$・横に $1$（または縦に $1$・横に $2$）跳ぶ。盤の全マスを一度ずつ通る道筋をナイトの巡回といい、最後のマスから最初のマスへ一手で戻れるものを閉じた巡回という。どの盤に閉じた巡回があるかを、塗り分けと全探索の二つで確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$5\times5$ には閉じた巡回が無い。$5\times5$ の盤で全部の道筋を探すと、全マスを一度ずつ回る巡回は向きを区別して $1728$ 本あり、そのうち最初のマスへ戻れるものは $0$ 本だった（第2節）。

第二に、巡回は多い色からしか始まらない。盤を市松に塗ると、$5\times5$ は一方の色が $13$ マス（四隅を含む）、もう一方が $12$ マスである。$1728$ 本はすべて $13$ マスの色から始まり、$12$ マスの色からは $1$ 本も始まらなかった。角から始まる巡回は $304$ 本である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。ナイトは一手ごとに色を替えるので、マスの数が奇数の盤には閉じた巡回が無い。色を交互に踏むので、$25$ マスを回る道筋は多い色で始まり多い色で終わる。最後のマスから最初のマスへ戻る一手は同じ色どうしで、ナイトにはできない（第3節）。

第四に、マスの数が偶数の盤には、閉じた巡回がある。$6\times6$ と $8\times8$ で、行き先の少ないマスから試す探索が閉じた巡回を見つけ、全マスを一度ずつナイトの動きで回って最初へ戻れることを確かめた（第4節）。

キーワード：ナイトツアー、閉じた巡回、二色の塗り分け、ワーンスドルフの規則、ハミルトン閉路

Abstract

A chess knight jumps $2$ squares one way and $1$ the other. A path visiting every square of the board exactly once is a knight’s tour, and one whose last square is a knight’s move from the first is a closed tour.Which boards have closed tours is checked by two routes, colouring and exhaustive search.No new theorem or law is claimed.

First, $5\times5$ has no closed tour、searching every path on the $5\times5$ board, tours visiting every square once number $1728$ counting direction, and $0$ of them return to the first square (Section 2).

Second, tours start only on the larger colour、colouring the board as a chequerboard, $5\times5$ has $13$ squares of one colour (including the four corners) and $12$ of the other. All $1728$ tours start on the $13$-square colour and not one on the $12$-square colour. Tours starting at a corner number $304$ (Section 2).

Third, and this is the core.Since a knight changes colour at every move, a board with an odd number of squares has no closed tour、stepping on the colours alternately, a path over $25$ squares starts and ends on the larger colour. The move from the last square back to the first would join two squares of the same colour, which a knight cannot do (Section 3).

Fourth, boards with an even number of squares do have closed tours、on $6\times6$ and $8\times8$, a search trying the squares with fewest onward moves first found closed tours, confirmed to visit every square once by knight’s moves and return to the start (Section 4).

Keywords: knight's tour, closed tour, two-colouring, Warnsdorff's rule, Hamiltonian cycle

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/625/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/625 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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