YOI 654：窓を選ぶことは、答えを選ぶことである：漏れを下げると、近い二つが分けられなくなる

論文654 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/654 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014655）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi654,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Choosing a Window Is Choosing the Answer: Lowering the Leakage Loses the Power to Split Close Tones},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/654},
  doi = {10.5281/zenodo.23014655},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969436・969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:32（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

信号のスペクトルを測るには、有限の長さの記録を切り出すしかない。切り出すことは、無限に続く信号に「窓」を掛けることで、測ったスペクトルには窓の形が畳み込まれる。窓の端をなだらかに落とすと、強い音が遠くの周波数へ漏れる量は減るが、山は太くなる。三つの窓で、その取り引きを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、漏れを下げる窓ほど、山が太い。最も高い脇の山は、矩形 $\mathbf{-13.2632}$、ハン $\mathbf{-31.4676}$、ブラックマン $\mathbf{-58.1088}$ dB。等価雑音帯域は $1.0000$、$1.5000$、$1.7268$ 目盛だった（第2節）。

第二に、矩形の窓では、強い音の隣の弱い音が漏れに埋もれる。$100$ Hz（振幅 $1$）の隣 $7.68$ 目盛の $130$ Hz（振幅 $0.001$）で、弱い音の山を強い音の漏れで割った比は、矩形 $\mathbf{0.0264}$、ハン $1.2922$、ブラックマン $\mathbf{3.3629}$ だった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。漏れを下げた窓ほど、近い二つを分けられない。同じ強さの二音を位相の差 $36$ 通りで重ねると、いつも二つの山に分かれるのは、矩形で $1.5$ 目盛から、ハンで $2.0$ 目盛から、ブラックマンで $2.5$ 目盛からだった。$1.5$ 目盛では、分かれた割合は $1.0000$、$0.5833$、$0.5278$ だった（第4節）。

第四に、分離子は、近い二つを分けたいか、微弱な隣を見たいかである。二つの問いに、一つの窓で同時に最もよく答えることはできない。窓を選ぶことは、どちらの問いに答えるかを選ぶことである（第5節）。

キーワード：窓関数、スペクトル解析、漏れ、周波数分解能、離散フーリエ変換

Abstract

To measure the spectrum of a signal, one can only cut out a record of finite length. Cutting out is multiplying an endless signal by a “window”, and the window’s shape is convolved into the measured spectrum. Tapering the ends of the window reduces how much a strong tone leaks to distant frequencies, but widens its peak.The trade is counted with three windows.No new theorem or law is claimed.

First, the lower a window’s leakage, the wider its peak、the highest sidelobe was $\mathbf{-13.2632}$ dB for the rectangular window, $\mathbf{-31.4676}$ for Hann and $\mathbf{-58.1088}$ for Blackman, and the equivalent noise bandwidth $1.0000$, $1.5000$ and $1.7268$ bins (Section 2).

Second, with the rectangular window, a weak tone next to a strong one is buried in leakage、with a $100$ Hz tone (amplitude $1$) and a $130$ Hz tone $7.68$ bins away (amplitude $0.001$), the weak tone’s peak divided by the strong tone’s leakage was $\mathbf{0.0264}$ for the rectangular window, $1.2922$ for Hann and $\mathbf{3.3629}$ for Blackman (Section 3).

Third, and this is the core.The lower a window’s leakage, the less it can split two close tones、adding two equally strong tones at $36$ phase differences, they always split into two peaks from $1.5$ bins with the rectangular window, from $2.0$ bins with Hann and from $2.5$ bins with Blackman. At $1.5$ bins the share that split was $1.0000$, $0.5833$ and $0.5278$ (Section 4).

Fourth, the separator is whether one wants to split close tones or to see a faint neighbour、no single window answers both questions best at once. Choosing a window is choosing which question to answer (Section 5).

Keywords: window function, spectral analysis, spectral leakage, frequency resolution, discrete Fourier transform

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/654/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/654 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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