Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文925 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/925 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月11日 9:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi925,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {In Peg Solitaire an Invariant Sum Narrows Where the Last Peg Can Remain to Five Holes, and It Can Actually Be Left in All Five},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/925},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

英国式ペグソリティアは $33$ 個の穴の中央だけを空けて始め、隣のペグを跳び越して取り除き、一本だけ残すことを目指す。本稿は、跳び越しで変わらない二つの和で最後の一本が残れる場所を絞り、その場所に実際に一本だけ残す手順があるかを探して、当て直して確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、跳び越しで変わらない和が二つある。四つの元の体の $\omega$ で、ペグの位置 $(x,y)$ ごとに $\omega$ の $x+y$ 乗と $x-y$ 乗を足した二つの和は、$76$ 種の跳び越しで変わらず、ランダムな局面で $1998$ 回試して違いは $0$ だった（第2節）。

第二に、最後の一本が残れる場所は五か所に絞られる。中央を空けた始まりと同じ和を持つ一本だけの局面は、中央と、四本の腕の先端の中央の $\mathbf{5}$ か所だった。一本だけの局面の和は $9$ 種類に分かれる（第2節）。

第三に、和が合う状態は全体の十六分の一だが、それは届く割合ではない。和を並べた写像の階数は $4$ で、$2^{33}$ 通りの状態のうち始まりと同じ和を持つのはちょうど $1/16$ である。和は届かない状態を消すだけで、残りが届くとは言わない（第3節）。

第四に、五か所とも、実際に一本だけ残せる。行き止まりを覚える深さ優先の探索で、中央と一つの腕の先端に残す手順が見つかり（覚えた行き止まり $10813$）、盤の対称で写した手順を当て直すと、五か所すべてで $31$ 手ののち一本だけ残った（第4節）。

第五に、分離子は、不変量で消せるか、手順で確かめられるかである。和が合わない場所には決して残らないが、和が合う場所に残せるかは和からは分からない。この盤の中央から始めた場合には、和が許した五か所がすべて届いた（第5節）。

キーワード：ペグソリティア、不変量、有限体、必要条件、探索、盤の対称

Abstract

English peg solitaire starts with only the centre of $33$ holes empty; pegs jump over neighbours to remove them, aiming to leave a single peg.This paper narrows where the last peg can remain using two sums that jumps leave unchanged, searches for sequences that actually leave one peg in those places, and confirms them by replaying.No new theorem or law is claimed.

First, there are two sums that jumps leave unchanged: with $\omega$ in the field of four elements, the two sums over peg positions $(x,y)$ of $\omega$ to the power $x+y$ and of $\omega$ to the power $x-y$ are unchanged by all $76$ kinds of jump; in $1998$ trials on random positions, no difference was found (Section 2).

Second, the last peg can remain in only five places: single-peg positions with the same sums as the start (centre empty) are the centre and the middle holes at the tips of the four arms, $\mathbf{5}$ places. Single-peg positions fall into $9$ classes of sums (Section 2).

Third, states with matching sums are a sixteenth of all, but that is not the reachable fraction: the map listing the sums has rank $4$, so of the $2^{33}$ states exactly $1/16$ have the starting sums. The sums only rule out unreachable states and do not say that the rest are reachable (Section 3).

Fourth, a single peg can actually be left in all five places: a depth-first search remembering dead ends found sequences leaving the last peg at the centre and at one arm tip ($10813$ dead ends remembered); replaying these sequences mapped by the board’s symmetries, one peg remained after $31$ moves in all five places (Section 4).

Fifth, the separator is whether a place is ruled out by an invariant or confirmed by a sequence of moves: the last peg never remains where the sums do not match, but whether it can be left where they match is not told by the sums. Starting from the centre of this board, all five places allowed by the sums were reached (Section 5).

Keywords: peg solitaire, invariant, finite field, necessary condition, search, board symmetry

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/925/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/925 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ