YOI 1001：塵の静止宇宙の半径は、揺らぎが e 倍に育つあいだに光が進む距離に等しい

論文1001 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1001 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823496）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1001,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Radius of a Dust-Filled Static Universe Equals the Distance Light Travels While a Disturbance Grows by e},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1001},
  doi = {10.5281/zenodo.22823496},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタインが 1917 年に置いた静止宇宙は、宇宙項 Λ で重力の引きを打ち消して止まり、エディントンが 1930 年に示したとおり、少しずれると止まっていられない。本稿は、ニュートンの殻と一般相対論の加速の式の両方で、止まる条件・ずれが育つ速さ・空間の曲率半径を数え、状態方程式 p＝wρc² の w を動かして比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、釣り合いは Λc²＝4πGρ(1+3w) で、殻はどの半径でも同時に釣り合う。塵（w＝0）では殻の式も一般相対論の式も Λc²＝$12.566370614$（ρ＝1）を返し、半径 $0.3$・$1$・$7$ の殻が同じ Λ で止まる。光で満ちると Λ は塵の $2.000000$ 倍になる（第2節）。

第二に、広がる向きにも縮む向きにも、ずれは √(4πGρ) の速さで育つ、静止からずらして積分すると、塵の殻では広がる向きで $\mathbf{3.544907}$、縮む向きで $\mathbf{3.544909}$ で、式の $\mathbf{3.544908}$ と合う。一般の w では速さの二乗が 4πGρ(1+3w)(1+w) になり、光は塵の $\mathbf{1.632993}$ 倍速く崩れる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。塵の静止宇宙の曲率半径は、ずれが e 倍に育つ時間 τ に光が進む距離 cτ に等しい。フリードマンの第一式から出る半径と τ の比は、塵で $\mathbf{1.000000}$、光で $\mathbf{1.414213}$（√2＝$1.414214$）、w＝$0.1$ で $\mathbf{1.140175}$、w＝$1$ で $\mathbf{1.999999}$ で、どれも √(1+3w) に合う（第4節）。

第四に、殻のエネルギーを曲率として読んでも、同じ半径が出る。半径 $1$ の静止した殻の単位質量あたりのエネルギーは $\mathbf{-6.283185}$（−2πGρ）で、これを −c²r²/(2R²) と読むと R＝$\mathbf{0.282095}$ となり、第一式の半径と一致する（第4節）。

第五に、塵では、3 次元球面の体積と密度の積 M について、2GM/c² が対蹠点までの距離に等しい。体積 2π²a³ に密度を掛けて M と書くと 2GM/(c²a) は π/(1+w) で、塵では $\mathbf{3.141593}$、光では $\mathbf{2.356194}$ である（第5節）。

第六に、分離子は圧力である。w は Λ に 1+3w、崩れる速さの二乗に (1+3w)(1+w)、半径の二乗の逆数に 1+w として入り、比にはそのうち √(1+3w) だけが残る。代表値 ρ＝$1.0$×10⁻²⁶ kg/m³ では、塵の τ は $\mathbf{10.941787}$ 十億年、半径は $\mathbf{10.941787}$ 十億光年である（第6節）。

キーワード：アインシュタインの静止宇宙、宇宙定数、フリードマン方程式、エディントンの不安定、状態方程式、3次元球面

Abstract

The static universe Einstein set up in 1917 stops by letting a cosmological term Λ cancel the pull of gravity, and, as Eddington showed in 1930, it cannot stay put once slightly displaced.This paper counts, both with a Newtonian shell and with the acceleration equation of general relativity, the condition for standing still, the rate at which a displacement grows, and the curvature radius of space, and compares them while varying w in the equation of state p = wρc².No new theorem or law is claimed.

First, the balance is Λc² = 4πGρ(1+3w), and shells of every radius balance at once、for dust (w = 0) both the shell equation and the relativistic equation return Λc² = $12.566370614$ (ρ = 1), and shells of radius $0.3$, $1$ and $7$ stop at the same Λ. Filled with light, Λ becomes $2.000000$ times that of dust (Section 2).

Second, a displacement grows at the rate √(4πGρ) whether space expands or contracts、integrating from a displaced rest state, the dust shell gives $\mathbf{3.544907}$ for expansion and $\mathbf{3.544909}$ for contraction, matching $\mathbf{3.544908}$ from the formula. For general w the square of the rate is 4πGρ(1+3w)(1+w), and a light-filled universe collapses $\mathbf{1.632993}$ times faster than dust (Section 3).

Third, and this is the core. The curvature radius of a dust-filled static universe equals the distance cτ that light travels in the time τ a displacement takes to grow by e、the ratio of the radius from Friedmann’s first equation to cτ is $\mathbf{1.000000}$ for dust, $\mathbf{1.414213}$ for light (√2 = $1.414214$), $\mathbf{1.140175}$ for w = $0.1$ and $\mathbf{1.999999}$ for w = $1$, all matching √(1+3w) (Section 4).

Fourth, reading the shell’s energy as curvature gives the same radius、the energy per unit mass of a static shell of radius $1$ is $\mathbf{-6.283185}$ (−2πGρ); reading it as −c²r²/(2R²) gives R = $\mathbf{0.282095}$, the radius from the first equation (Section 4).

Fifth, for dust, with M the product of the three-sphere’s volume and the density, 2GM/c² equals the distance to the antipodal point、writing M for the volume 2π²a³ times the density, 2GM/(c²a) is π/(1+w): $\mathbf{3.141593}$ for dust and $\mathbf{2.356194}$ for light (Section 5).

Sixth, the separator is pressure、w enters Λ as 1+3w, the squared collapse rate as (1+3w)(1+w) and the inverse squared radius as 1+w, and only √(1+3w) survives in the ratio. With the representative ρ = $1.0$×10⁻²⁶ kg/m³, τ for dust is $\mathbf{10.941787}$ billion years and the radius is $\mathbf{10.941787}$ billion light years (Section 6).

Keywords: Einstein static universe, cosmological constant, Friedmann equations, Eddington instability, equation of state, three-sphere

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1001/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1001 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ