YOI 1034：翼端で押す回転翼に反トルクは無いが、代金は噴流が持ち去る運動エネルギーで払う

論文1034 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1034 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860612）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1034,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Rotor Driven at Its Tips Has No Torque Reaction, but the Price Is Paid in the Kinetic Energy the Jet Carries Away},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1034},
  doi = {10.5281/zenodo.22860612},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ウィトゲンシュタインは哲学の前に航空工学を学び、1911 年に翼端の燃焼室で回すプロペラの特許を取った。飛行機には使えなかったが、のちにヘリコプターのチップジェットになった型である。本稿は、軸で回す回転翼と翼端で押す回転翼を運動量理論の代表値で並べ、反トルクが消える代わりに何を払うかを数える。新しい定理も法則も主張せず、実機の性能も引かない。

第一に、これが本稿の芯である。反トルクが消えるのは力の作用点が軸から縁へ移るからで、代金は噴流が持ち去る運動エネルギーである。重さ 2000 kg・半径 5 m・角速度 40 rad/s（翼端 200 m/s）の代表値で、ホバリングの誘導速度は $\mathbf{10.095954}$ m/s、誘導仕事率は $\mathbf{198.014970}$ kW である。軸で回すとトルク $\mathbf{4950.374246}$ N·m が胴体を逆に回し、6 m 先の半径 1 m の尾部回転翼に推力 $\mathbf{825.062374}$ N・誘導仕事率 $\mathbf{8.542248}$ kW（主回転翼の $\mathbf{0.043139}$）が要る。翼端で押せば要る噴流の推力は $\mathbf{990.074849}$ N で軸のトルクは 0 だが、噴流の推進効率は翼端の速さ V と噴流の速さの比 2V/(V＋噴流の速さ) で決まる（第2節・第3節）。

第二に、噴流の代金は尾部回転翼の代金の 10 倍を超える。噴流の速さが翼端の 1.25・2・3・5 倍のとき推進効率は $\mathbf{0.888889}$・$\mathbf{0.666667}$・$\mathbf{0.500000}$・$\mathbf{0.333333}$ で、捨てる仕事率は届ける仕事率の $\mathbf{0.125000}$・$\mathbf{0.500000}$・$\mathbf{1.000000}$・$\mathbf{2.000000}$ 倍である。翼端の 2 倍の噴流で代金は尾部の $\mathbf{11.590331}$ 倍、3 倍で $\mathbf{23.180662}$ 倍になる（第3節）。

第三に、代金がゼロになる噴流はほとんど翼端と同じ速さである。噴流の代金が尾部回転翼の分と等しくなる推進効率は $\mathbf{0.958645}$、噴流の速さは $\mathbf{217.255763}$ m/s で翼端の $\mathbf{1.086279}$ 倍しかない（閉じた式と二分法が一致）。それより速い噴流はすべて尾部より高くつく（第3節）。

第四に、尾部回転翼の代金は面積で下がる。尾部の半径を 1 m から 2 m にすると誘導仕事率は $\mathbf{4.271124}$ kW・主回転翼の $\mathbf{0.021570}$ と半分になる。尾部の代金は面積で、噴流の代金は速さの比で決まる（第2節）。

第五に、どちらの代金も運動量理論の同じ式から出る。尾部回転翼の誘導仕事率は推力の 3/2 乗を面積の平方根で割った値、噴流の推進効率はフルードの 2V/(V＋噴流の速さ) で、どちらも「流れに与えた運動量に対して残る運動エネルギー」の勘定である（第4節）。

第六に、分離子は、力を軸に入れるか、縁に入れるか、軸に入れれば反トルクが出て尾部が要り、縁に入れれば反トルクは出ないが噴流が要る。特許の着想は縁に入れることで、代金の帳簿は着想の外にある（第4節）。

キーワード：回転翼、反トルク、チップジェット、運動量理論、推進効率、尾部回転翼

Abstract

Before philosophy Wittgenstein studied aeronautics, and in 1911 he was granted a patent for a propeller driven by combustion chambers at the blade tips. It did not work for aeroplanes, but it is the type that later became the helicopter tip jet.This paper sets a shaft-driven rotor beside a tip-driven one with representative values of momentum theory and counts what is paid in exchange for the vanishing torque reaction.No new theorem or law is claimed, and no performance of real machines is cited.

First, and this is the core. The torque reaction vanishes because the point of application moves from the shaft to the rim, and the price is the kinetic energy the jet carries away、with representative values of 2000 kg, radius 5 m and angular speed 40 rad/s (tip speed 200 m/s), the induced velocity in hover is $\mathbf{10.095954}$ m/s and the induced power $\mathbf{198.014970}$ kW. Driven at the shaft, a torque of $\mathbf{4950.374246}$ N·m spins the body the other way, and a tail rotor of radius 1 m at 6 m needs a thrust of $\mathbf{825.062374}$ N and an induced power of $\mathbf{8.542248}$ kW ($\mathbf{0.043139}$ of the main rotor). Driven at the tips, the jet thrust needed is $\mathbf{990.074849}$ N and the shaft torque is 0, but the propulsive efficiency of the jet is set by the tip speed V and the jet speed as 2V/(V + jet speed) (Sections 2 and 3).

Second, the price of the jet exceeds ten times the price of the tail rotor、for jet speeds of 1.25, 2, 3 and 5 times the tip speed the propulsive efficiency is $\mathbf{0.888889}$, $\mathbf{0.666667}$, $\mathbf{0.500000}$ and $\mathbf{0.333333}$, and the power wasted is $\mathbf{0.125000}$, $\mathbf{0.500000}$, $\mathbf{1.000000}$ and $\mathbf{2.000000}$ times the power delivered. At twice the tip speed the price is $\mathbf{11.590331}$ times that of the tail rotor, at three times $\mathbf{23.180662}$ (Section 3).

Third, the jet that makes the price zero is almost as slow as the tip、the propulsive efficiency at which the jet’s price equals the tail rotor’s is $\mathbf{0.958645}$, at a jet speed of $\mathbf{217.255763}$ m/s, only $\mathbf{1.086279}$ times the tip speed (closed form and bisection agree). Every faster jet costs more than the tail rotor (Section 3).

Fourth, the price of the tail rotor falls with area、doubling the tail rotor’s radius from 1 m to 2 m halves its induced power to $\mathbf{4.271124}$ kW, $\mathbf{0.021570}$ of the main rotor. The tail rotor pays in area, the jet in the ratio of speeds (Section 2).

Fifth, both prices come from the same formula of momentum theory、the induced power of the tail rotor is thrust to the 3/2 divided by the square root of area, and the propulsive efficiency of the jet is Froude’s 2V/(V + jet speed); both are the account of the kinetic energy left in the flow for the momentum given to it (Section 4).

Sixth, the separator is whether the force is applied at the shaft or at the rim、applied at the shaft, a torque reaction appears and a tail rotor is needed; applied at the rim, no torque reaction appears but a jet is needed. The idea of the patent is to apply it at the rim; the ledger of the price lies outside the idea (Section 4).

Keywords: rotor, torque reaction, tip jet, momentum theory, propulsive efficiency, tail rotor

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1034/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1034 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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