YOI 542：「相反」は四つあり、三つは対称性だけを要り、一つは時間反転を要る

論文542 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/542 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014145）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文542】「相反」は四つあり、三つは対称性だけを要り、一つは時間反転を要る

@misc{yamagishi2026yoi542,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {``Reciprocity'' Is Four Theorems: Three Need Only Symmetry, One Needs Time Reversal},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/542},
  doi = {10.5281/zenodo.23014145},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月21日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 972369・972387・972391 に記録されました（2026年10月21日 04:31（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

光学にも、電磁気にも、構造にも、熱力学にも「相反定理」がある。本稿が示すのは、前三つが作用素の対称性だけを要るのに対し、四つ目は磁場の符号まで反転させることを要ることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、対称な作用素なら相反は厳密に成り立つ、対称な剛性行列で $f_{1}\cdot u_{2}$ と $f_{2}\cdot u_{1}$ の差は $\mathbf{0.00\times10^{0}}$ である（第2節）。

第二に、非対称にすると破れる。差は $\mathbf{0.029851}$、相対で $\mathbf{0.6667}$ になる。境目の反対側である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。磁場のある系では、対称性が壊れているのに相反が成り立つ、$|L_{12}-L_{21}|=\mathbf{1.600000}$ なのに、$L(B)$ と $L(-B)$ の転置は差 $\mathbf{0.00\times10^{0}}$ で一致する（第3節）。

第四に、磁場を切れば普通の対称性に戻る。$B=0$ では $|L_{12}-L_{21}|$ が $10^{-15}$ の桁に落ちる（第3節）。

第五に、条件の形が違う。前三つは一つの行列について言えるが、四つ目は二つの状態（$B$ と $-B$）を並べないと書けない（第4節）。

第六に、分離子は、いくつの状態を要るかである。一つで足りるか、二つ要るか（第4節）。

キーワード：相反定理、オンサーガーの相反関係、ヘルムホルツの相反性、ベッティの定理、時間反転対称性

Abstract

Optics, electromagnetism, structural mechanics and thermodynamics each have a reciprocity theorem.What this paper shows is that the first three require only that an operator be symmetric, while the fourth requires reversing the sign of the magnetic field as well.No new theorem or law is claimed.

First, with a symmetric operator reciprocity is exact、for a symmetric stiffness matrix the difference between $f_{1}\cdot u_{2}$ and $f_{2}\cdot u_{1}$ is $\mathbf{0.00\times10^{0}}$ (Section 2).

Second, making it asymmetric breaks it、a difference of $\mathbf{0.029851}$, relatively $\mathbf{0.6667}$: the far side of the boundary (Section 2).

Third, and this is the core.With a magnetic field the symmetry is destroyed and reciprocity survives、$|L_{12}-L_{21}|=\mathbf{1.600000}$, and yet $L(B)$ matches the transpose of $L(-B)$ with difference $\mathbf{0.00\times10^{0}}$ (Section 3).

Fourth, switching off the field restores ordinary symmetry、at $B=0$, $|L_{12}-L_{21}|$ falls to the $10^{-15}$ level (Section 3).

Fifth, the conditions have different shapes、the first three can be stated about one matrix; the fourth needs two states, $B$ and $-B$, set side by side (Section 4).

Sixth, the separator is how many states are needed、one, or two (Section 4).

Keywords: reciprocity theorem, Onsager reciprocal relations, Helmholtz reciprocity, Betti's theorem, time-reversal symmetry

版の記録

ここの PDF（倉庫の v2）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/542/v2/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/542 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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