YOI 605：干支は百二十通りではなく、六十通りしかない

論文605 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/605 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014440）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi605,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Sexagenary Cycle Has Sixty Pairs, Not a Hundred and Twenty},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/605},
  doi = {10.5281/zenodo.23014440},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

干支は、十干（甲・乙・丙…の $10$）と十二支（子・丑・寅…の $12$）を一つずつ組にして年を呼ぶ仕組みである。年ごとに両方を一つずつ進めたとき、組が何通り現れるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、現れる組は $120$ 通りではなく $60$ 通りである。年を $120$ 年ぶん回して組を集めると、現れたのは $60$ 通り（割合 $0.500000$）で、$60$ 年で一巡し、それ以後は新しい組が一つも出なかった。甲子の次に甲子が来るのは $60$ 年後で、これが還暦である（第2節）。

第二に、現れるのは偶奇が揃う組だけである。十干と十二支に $0$ から番号を振ると、現れた $60$ 組はすべて二つの番号の偶奇が揃っており、偶奇が揃う組はちょうど $60$ ある。甲（$0$）と丑（$1$）の組、甲丑は一度も来ない（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。分離子は、二つの周期の最大公約数である。年が一つ進むと二つの番号がどちらも一つ進むので、番号の差は、$10$ と $12$ の最大公約数 $2$ で割った余りが変わらない。最大公約数が $1$ なら全部の組が現れ、$g$ なら $1/g$ しか現れない（第3節）。

第四に、マヤの暦では五分の一しか現れない。$13$ の数と $20$ の日の名の組（ツォルキン）は最大公約数が $1$ で、$260$ 通りすべてが現れる。そのツォルキンの $260$ 日と、$365$ 日の暦の組は最大公約数が $5$ で、$94900$ 通りのうち $18980$ 通り（割合 $0.200000$）しか現れず、$18980$ 日（$365$ 日の年の $52$ 年）で一巡する（第3節）。

第五に、互いに素な周期を三つ組むと、全部が現れる。$28$ 年・$19$ 年・$15$ 年の三つの周期（ユリウス周期）は、どの二つも最大公約数が $1$ で、$7980$ 年のあいだに $7980$ 通りの組がすべて一度ずつ現れる（第3節）。

第六に、二つの道筋が合った。年を回して集めた組の数と、「二つの番号の差を最大公約数で割った余りが $0$」という条件だけで数えた組の数は、干支でもマヤの暦でも一致した（第3節）。

キーワード：干支、中国の剰余の定理、最大公約数、暦、カレンダー・ラウンド

Abstract

The sexagenary cycle names years by pairing one of ten heavenly stems (jia, yi, bing and so on) with one of twelve earthly branches (zi, chou, yin and so on).Advancing both by one each year, how many pairs occur is counted.No new theorem or law is claimed.

First, the pairs that occur are $60$, not $120$、collecting pairs over $120$ years, $60$ occurred (share $0.500000$); the cycle repeats after $60$ years and no new pair appears afterwards. Jia--zi comes again only after $60$ years, the return known as kanreki in Japan (Section 2).

Second, only pairs of matching parity occur、numbering the stems and branches from $0$, all $60$ pairs that occurred have indices of the same parity, and there are exactly $60$ such pairs. The pair of jia ($0$) and chou ($1$) never comes (Section 2).

Third, and this is the core.The separator is the greatest common divisor of the two periods、each year both indices advance by one, so the difference of the indices keeps its remainder on division by $2$, the greatest common divisor of $10$ and $12$. With greatest common divisor $1$ every pair occurs; with $g$, only $1/g$ of them (Section 3).

Fourth, in the Maya calendar only a fifth occur、the pairs of $13$ numbers and $20$ day names (the tzolk’in) have greatest common divisor $1$, and all $260$ occur. The pairs of that $260$-day count and the $365$-day count have greatest common divisor $5$; only $18980$ of $94900$ occur (share $0.200000$), repeating after $18980$ days ($52$ years of $365$ days) (Section 3).

Fifth, three pairwise coprime periods make everything occur、the three periods of $28$, $19$ and $15$ years (the Julian period) have greatest common divisor $1$ in every pair, and in $7980$ years all $7980$ triples occur once each (Section 3).

Sixth, two routes agree、the number of pairs collected by running through the years and the number counted only by the condition “the difference of the indices leaves $0$ on division by the greatest common divisor” agreed for the sexagenary cycle and for the Maya calendar (Section 3).

Keywords: sexagenary cycle, Chinese remainder theorem, greatest common divisor, calendar, Calendar Round

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/605/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/605 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ