YOI 608：パスカルの三角形の奇数は、行の番号を二進法で書いたときの 1 の数で決まる

論文608 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/608 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014462）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi608,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Odd Numbers in Pascal's Triangle Are Counted by the Ones in the Row Number Written in Binary},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/608},
  doi = {10.5281/zenodo.23014462},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

パスカルの三角形は、各行の両端を $1$ とし、内側の数を上の二つの数の和で作る三角形である。行 $n$ の左から $k$ 番目（$0$ から数える）は、$n$ 個から $k$ 個を選ぶ選び方の数である。その数のうち奇数がいくつあるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、行 $n$ の奇数は $2^{s}$ 個である。$s$ は $n$ を二進法で書いたときの $1$ の数である。二を法として足した行で数えると、行 $0$ から $1023$ のすべてで一致した。行 $255$（二進法で $1$ が八つ）は $256$ 個すべてが奇数で、行 $256$（$1$ が一つ）は両端の $2$ 個だけである（第2節）。

第二に、奇数の割合は、行が増えると零に近づく。初めの $2^{k}$ 行に含まれる奇数は、$k=0$ から $10$ のすべてで $3^{k}$ 個だった。行が $2$ 倍になるたびに奇数は $3$ 倍にしかならないので、割合は $8$ 行で $0.750000$、$256$ 行で $0.199447$、$1024$ 行で $\mathbf{0.112517}$ まで減る（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。奇数になるのは、$k$ と $n-k$ を二進法で足して、繰り上がりが一度も起きないときである。選び方の数を割り切る $2$ の冪の指数は、$k$ と $n-k$ を二進法で足したときの繰り上がりの回数に等しい。選び方の数を正確に計算して、$n<256$ のすべてで一致した。$6$ 個から $2$ 個の $15$ は $2$ と $4$ を足しても繰り上がらずに奇数、$6$ 個から $3$ 個の $20$ は $3$ と $3$ を足して二度繰り上がり、$4$ で割り切れる（第4節）。

第四に、分離子は、どの素数で割るかである。$3$ で割り切れない数の個数は、$n$ を $3$ 進法で書いた各桁に $1$ を足して掛けた数になり、行 $0$ から $728$ のすべてで一致した。$3$ で割り切れるかどうかも、$3$ 進法の繰り上がりの回数で決まる（第5節）。

キーワード：パスカルの三角形、二項係数の偶奇、ルカの定理、クンマーの定理、二進法

Abstract

Pascal’s triangle sets $1$ at both ends of each row and makes each inner number the sum of the two above it. The $k$-th number from the left in row $n$ (counting from $0$) is the number of ways of choosing $k$ things from $n$.How many of them are odd is counted.No new theorem or law is claimed.

First, row $n$ holds $2^{s}$ odd numbers、$s$ is the number of ones in $n$ written in binary. Counting with rows added modulo two, this held for every row from $0$ to $1023$. Row $255$ (eight ones in binary) has all $256$ entries odd, while row $256$ (one one) has only the $2$ at its ends (Section 2).

Second, the share of odd numbers tends to zero as rows are added、the first $2^{k}$ rows held $3^{k}$ odd numbers for every $k$ from $0$ to $10$. Each doubling of the rows only triples the odd numbers, so the share falls to $0.750000$ in $8$ rows, $0.199447$ in $256$ and $\mathbf{0.112517}$ in $1024$ (Section 3).

Third, and this is the core.An entry is odd exactly when adding $k$ and $n-k$ in binary produces no carry、the exponent of the power of $2$ dividing a number of choices equals the number of carries when $k$ and $n-k$ are added in binary; computing the numbers of choices exactly, this held for every $n<256$. Choosing $2$ of $6$ gives $15$, odd, since adding $2$ and $4$ carries nothing; choosing $3$ of $6$ gives $20$, since adding $3$ and $3$ carries twice, divisible by $4$ (Section 4).

Fourth, the separator is which prime one divides by、the number of entries not divisible by $3$ is the product of each base-$3$ digit of $n$ plus one, which held for every row from $0$ to $728$. Divisibility by $3$ is also decided by the number of carries in base $3$ (Section 5).

Keywords: Pascal's triangle, parity of binomial coefficients, Lucas's theorem, Kummer's theorem, binary representation

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/608/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/608 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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