YOI 627：8×8 の盤から二マスを欠いてドミノで敷けるかは、二マスの色だけで決まる

論文627 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/627 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014541）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi627,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether an 8×8 Board Missing Two Squares Can Be Tiled by Dominoes Is Decided by Their Colours Alone},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/627},
  doi = {10.5281/zenodo.23014541},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$2\times1$ のドミノで盤を隙間なく、重ねずに覆う仕方を数える。$8\times8$ の盤そのものと、そこから二マスを欠いた盤を扱う。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$8\times8$ は $12988816$ 通り、一列ずつ、次の列へはみ出すマスを覚えて進める数え上げと、カステレインの積の式が、辺が $2$ から $8$ で面積が偶数の盤すべてで一致した。$2\times n$ の盤は $1$・$2$・$3$・$5$・$8$ と続くフィボナッチ数で、$n=10$ で $89$ 通りである（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。同じ色の二マスを欠くと、敷き方は $0$ 通りになる。市松に塗ると、ドミノは必ず違う色を一つずつ覆う。向かい合う角は同じ色なので、欠くと一方の色が $30$ マス、もう一方が $32$ マスになり、$31$ 枚のドミノが覆う各色 $31$ マスと合わない。二マスを欠く $2016$ 通りを全部数えると、同じ色を欠いた $992$ 通りはすべて $0$ 通りだった（第3節）。

第三に、違う色の二マスを欠くと、どこを欠いても敷ける。違う色を欠いた $1024$ 通りは、すべて $1$ 通り以上敷けた。敷き方の数は欠く場所で変わり、最も少ないのは $418000$ 通り（欠けていない盤の $0.032182$ 倍）、最も多いのは $6494408$ 通りで、角とその隣を欠いた場合がそうである。これは欠けていない盤のちょうど半分になる（第4節）。

第四に、大きな盤では、一マスあたりの対数がカタランの定数に近づく。敷き方の数の自然対数をマスの数で割ると、$8\times8$ で $0.255931$、$200\times200$ で $\mathbf{0.290072}$ となり、カタランの定数 $G$ を $\pi$ で割った $0.291561$ との差は $0.001489$ である（第5節）。

キーワード：ドミノ敷き詰め、欠けたチェス盤、ゴモリーの定理、カステレインの式、完全マッチング

Abstract

The ways to cover a board with $2\times1$ dominoes, without gaps or overlaps, are counted, for the $8\times8$ board itself and for boards with two squares removed.No new theorem or law is claimed.

First, the $8\times8$ board has $12988816$ tilings、counting column by column, remembering which squares stick into the next column, agreed with Kasteleyn’s product formula on every board with sides $2$ to $8$ and even area. The $2\times n$ boards give the Fibonacci numbers $1$, $2$, $3$, $5$, $8$, reaching $89$ at $n=10$ (Section 2).

Second, and this is the core.Removing two squares of the same colour leaves $0$ tilings、coloured like a chessboard, every domino covers one square of each colour. Opposite corners share a colour, so removing them leaves $30$ squares of one colour and $32$ of the other, which cannot match the $31$ of each colour that $31$ dominoes cover. Counting all $2016$ ways to remove two squares, all $992$ removing the same colour gave $0$ (Section 3).

Third, removing two squares of different colours leaves a board that can be tiled, wherever they are、all $1024$ removals of different colours gave at least one tiling. The number depends on where: the fewest is $418000$ ($0.032182$ of the full board) and the most $6494408$, reached when a corner and its neighbour are removed, exactly half the full board (Section 4).

Fourth, on large boards the logarithm per square approaches Catalan’s constant、the natural logarithm of the number of tilings divided by the number of squares is $0.255931$ for $8\times8$ and $\mathbf{0.290072}$ for $200\times200$, differing by $0.001489$ from Catalan’s constant $G$ divided by $\pi$, $0.291561$ (Section 5).

Keywords: domino tiling, mutilated chessboard, Gomory's theorem, Kasteleyn formula, perfect matching

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/627/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/627 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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