YOI 636：表が続く最長の連は、投げる回数を倍にするごとに一つ伸び、ばらつきは縮まない

論文636 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/636 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014588）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi636,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Longest Run of Heads Grows by One Each Time the Tosses Double, and Its Spread Does Not Shrink},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/636},
  doi = {10.5281/zenodo.23014588},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

公正な硬貨を $n$ 回投げ、表が続けて出る最長の長さ（最長の連）を数える。その分布を行列の冪で正確に求め、乱数でも確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$200$ 回投げれば、$5$ 回以上続く連はほぼ必ず現れる。最長の連が $5$ 以上になる確率は $0.965903$、$6$ 以上は $0.800932$、$7$ 以上は $0.543708$、$10$ 以上でも $0.089919$ である。平均は $6.984206$ で、乱数 $200000$ 本では $6.983795$ だった（第2節）。

第二に、平均は $\log_2 n$ で伸びる。$n$ を $10$ 倍にするごとの伸びは $3.308277$・$3.320555$・$3.321789$・$3.321917$ と $\log_2 10=3.321928$ に近づき、倍にするごとに一つ伸びる勘定になる。$n=10^6$ の平均は $19.264317$ で、平均 $-\log_2 n$ は $-0.667252$、知られた漸近の値 $-0.667254$ との差は $0.000002$ である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。最長の連のばらつきは、投げる回数を増やしても縮まない。標準偏差は $n=100$ で $1.793249$、$10^4$ で $1.871193$、$10^6$ で $\mathbf{1.872689}$ と、漸近の値 $1.872711$ に近づいて止まる。表の割合の標準偏差 $0.5/\sqrt{n}$ が $0.05$ から $0.0005$ まで縮むのと対照的である（第4節）。

第四に、分離子は、和を見るか最大を見るかである。表の数（和）は回数を増やすほど割合が落ち着くが、最長の連（最大）は $\log_2 n$ で伸び続け、ばらつきも残る。同じ硬貨の同じ列から、落ち着く量と落ち着かない量が取り出せる（第5節）。

キーワード：最長の連、硬貨投げ、極値統計、ばらつき、対数の伸び

Abstract

A fair coin is tossed $n$ times and the longest stretch of consecutive heads (the longest run) is counted.Its distribution is found exactly by matrix powers and checked by simulation.No new theorem or law is claimed.

First, in $200$ tosses a run of $5$ or more almost always appears、the longest run is $5$ or more with probability $0.965903$, $6$ or more with $0.800932$, $7$ or more with $0.543708$, and even $10$ or more with $0.089919$. The mean is $6.984206$, and $200000$ simulated sequences gave $6.983795$ (Section 2).

Second, the mean grows like $\log_2 n$、the growth for each tenfold increase of $n$ is $3.308277$, $3.320555$, $3.321789$ and $3.321917$, approaching $\log_2 10=3.321928$: one more for each doubling. At $n=10^6$ the mean is $19.264317$, the mean minus $\log_2 n$ is $-0.667252$, and the difference from the known asymptotic value $-0.667254$ is $0.000002$ (Section 3).

Third, and this is the core.The spread of the longest run does not shrink however many times the coin is tossed、the standard deviation is $1.793249$ at $n=100$, $1.871193$ at $10^4$ and $\mathbf{1.872689}$ at $10^6$, approaching the asymptotic value $1.872711$ and stopping there. This contrasts with the standard deviation of the share of heads, $0.5/\sqrt{n}$, which shrinks from $0.05$ to $0.0005$ (Section 4).

Fourth, the separator is whether the sum or the maximum is looked at、the number of heads (a sum) settles in share as tosses increase, but the longest run (a maximum) keeps growing like $\log_2 n$ and keeps its spread. From the same sequence of the same coin, a quantity that settles and one that does not can be drawn (Section 5).

Keywords: longest run, coin tossing, extreme value statistics, variance, logarithmic growth

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/636/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/636 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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