YOI 638：3×3 の魔方陣は中心が 5 で一つだけ、4×4 はどのマスも決まらず 880 ある

論文638 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/638 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014602）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi638,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 3×3 Magic Square Has Its Centre Fixed at 5 and Is Unique, While the 4×4 Fixes No Cell and Has 880},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/638},
  doi = {10.5281/zenodo.23014602},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$1$ から $n^2$ までを $n\times n$ のマスに一度ずつ並べ、どの行・列・二本の対角線の和も等しくしたものを魔方陣という（和は $3\times3$ で $15$、$4\times4$ で $34$）。計算機で全部を数え、どのマスに何が入りうるかを見る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$3\times3$ は一つしかない。$1$ から $9$ の全 $362880$ 通りの並べ方を調べると魔方陣は $8$ 個で、回転と裏返しで同じものをまとめると $1$ 個だった。中心はいつも $5$、四隅は $2$・$4$・$6$・$8$、辺の中は $1$・$3$・$7$・$9$ に限られる（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$3\times3$ では、中心を通る四本の線が盤の全マスを覆うので、中心が決まる。真ん中の行・列と二本の対角線の和は $4\times15=60$ で、これは中心を $4$ 回、ほかの八マスを $1$ 回ずつ足したものである。全マスの和は $45$ なので、中心は $(60-45)/3=5$ に決まる。$5\times5$ では、中心を通る四本が覆うのは $25$ マスのうち $17$ マスだけで、この理屈は働かない（第2節・第4節）。

第三に、$4\times4$ ではどのマスも決まらない。八マスを選ぶと残りが和 $34$ から決まる後戻り探索で $7040$ 個、回転と裏返しをまとめて $880$ 個だった（知られた値と一致）。どのマスにも $1$ から $16$ のすべてが入りうる。決まるのは、四隅の和と中央の四マスの和で、$7040$ 個すべてで $34$ だった（第3節）。

第四に、直交するラテン方陣が無い $6$ 次にも、魔方陣はある。直交する $4$ 次のラテン方陣二枚 $A$・$B$ から $4A+B+1$ で作った方陣は魔方陣で、$7040$ 個の一覧に入っていた。$6$ 次には直交する相手が無いのでこの作り方は使えないが、行・列・対角線の和がすべて $111$ になる $6\times6$ の魔方陣を一つ確かめた（第4節）。

キーワード：魔方陣、3×3 の魔方陣、4×4 の魔方陣、後戻り探索、完全方陣

Abstract

Placing $1$ to $n^2$ once each in an $n\times n$ grid so that every row, column and both diagonals have the same sum gives a magic square (the sum is $15$ for $3\times3$ and $34$ for $4\times4$).All are counted by computer, and which values each cell can hold is examined.No new theorem or law is claimed.

First, there is only one $3\times3$、checking all $362880$ arrangements of $1$ to $9$, there are $8$ magic squares, and $1$ once those differing by rotation and reflection are taken as the same. The centre is always $5$, the corners are limited to $2$, $4$, $6$, $8$ and the edge middles to $1$, $3$, $7$, $9$ (Section 2).

Second, and this is the core.In the $3\times3$, the four lines through the centre cover every cell, so the centre is fixed、the middle row, middle column and two diagonals sum to $4\times15=60$, which counts the centre $4$ times and the other eight cells once each. All cells sum to $45$, so the centre is $(60-45)/3=5$. In the $5\times5$, the four lines through the centre cover only $17$ of the $25$ cells, and this reasoning does not work (Sections 2 and 4).

Third, in the $4\times4$ no cell is fixed、a backtracking search choosing eight cells, with the other eight fixed by the sum $34$, found $7040$, or $880$ up to rotation and reflection (agreeing with the known value). Every cell can hold any of $1$ to $16$. What is fixed is the sum of the four corners and the sum of the central four cells, $34$ in all $7040$ (Section 3).

Fourth, order $6$, which has no orthogonal Latin squares, still has magic squares、the square made as $4A+B+1$ from two orthogonal Latin squares $A$, $B$ of order $4$ is magic and in the list of $7040$. Order $6$ has no orthogonal mates, so this construction cannot be used, but one $6\times6$ magic square with all row, column and diagonal sums $111$ was confirmed (Section 4).

Keywords: magic square, 3x3 magic square, 4x4 magic square, backtracking search, pandiagonal magic square

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/638/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/638 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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